Beweisen oder widerlegen sie: Es existiert eine Matrix A ∈ M(2 x 2, ℝ) mit A ≠ 0 und A^2=0

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Es existiert eine Matrix A ∈ M(2 x 2, ℝ) mit A ≠ 0 und A²=0

b) Zu jeder Matrix A ∈ M(2 x 2,ℝ) mit A≠0 gibt es eine Matrix A' ∈ M(2 x 2,ℝ) mit A · A' = E₂

 

Wie gehe ich bei so einer Aufgabe vor? Ich meine ich kann mir bei A schlecht vorstellen das so eine Matrix existiert, denn wenn ich die Matrix mit sich selber Multipliziere und die Matrix keine 0 hat wie soll dann 0 rauskommen?

Answer 1

Wenn \(A=\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}\) ist, dann ist \(A^2=\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1^2+a_2a_3&a_1a_2+a_2a_4\\a_1a_3+a_3a_4&a_2a_3+a_4^2\end{pmatrix}\)

Kannst du jetzt vier Zahlen \(a_1, a_2, a_3, a_4\) finden, sodass die Matrix auf der rechten Seite die Nullmatrix ist (also alle Einträge gleich Null), aber mindestens eine der Zahlen ungleich Null ist?


Wenn es zu einer Matrix A eine Matrix A' gibt  mit \(A\cdot A'=E_2\), dann ist A invertierbar und A' ist die Inverse von A.

Und eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ...

Wenn du überlegst, was dahin gehört, dann kannst du ein Gegenbeispiel finden.

Comments

Kurze Rückfrage; Darf z.B. a₁= 1 sein und a_2-4=0 sein? Weil da steht A∈M(2x2,ℝ) mit A≠0...Müssen dann alle ungleich Null sein? Wenn nicht ist die Lösung:
Ja es existiert eine Matrix mit: (0,0,1,0)

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Ja, es reicht, wenn ein Eintrag ungleich Null ist. Denn wenn A=0 ist, dann müssen alle Einträge ungleich Null sein. Wenn also ein Eintrag ungleich Null ist, dann ist A nicht die Nullmatrix,

Dein Beispiel stimmt also.

Answer 2

zu a)

Die Aussage ist wahr:

$$A*A=0$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} { a }^{ 2 }+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+{ d }^{ 2 } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$\Leftrightarrow$$$${ a }^{ 2 }+bc=0$$$$ab+bd=0$$$$ac+cd=0$$$$bc+{ d }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow ...$$$$\Leftrightarrow$$$$A=\begin{pmatrix} a & \frac { -{ a }^{ 2 } }{ c }  \\ c & -a \end{pmatrix}$$

Jede Matrix dieser Form ergibt mit sich selber multipliziert die Nullmatrix.

 

zu b)

Die Aussage ist falsch, denn es gilt:

A * A ' = E

=> A ' = A ^{- 1}

also die Inverse von A. Diese existiert aber nur, wenn A invertierbar ist, wenn also die Determinante von A ungleich Null ist.

Man konstruiere also eine Matrix, deren Determinante gleich Null ist und hat somit ein Gegenbeispiel für die Aussage, welche somit widerlegt ist.

Eine solche Matrix ist z.B.

$$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$$