Konvergenz von: (3·n^2 + √(n·3^n))/2^n

Question

bei mir liegt folgende Aufgabe vor, bei der ich nicht wirklich weis, wie man so etwas prüft

Untersuchen Sie die Folgen (a_n) und (b_n) auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls ihre Grenzwerte:

1.  a_n= (3n² + √(n * 3ⁿ)) / 2ⁿ

2. b_n= √(n⁴+an³+bn²+cn) - n² , wobei a,b,c ≥ 0

Wie berechne ich so etwas?

Answer 1

Ich glaube da hat jemand die Gleichen Aufgaben wie du

https://www.mathelounge.de/122684/untersuchung-auf-konvergenz

Zumindest die 2. Aufgabe ist hier schon gemacht. Die erste sollte aber genau so funktionieren.

Comments

1.  a_n= (3n² + √(n * 3ⁿ)) / 2ⁿ

= 3·n^2/2^n + (n·3^n)^{1/2}/(4^n)^{1/2}

= 3·n^2/2^n + (n·(3/4)^n)^{1/2}

Beim ersten Summanden kannst du zweimal L'Hospital anwenden und siehst das es gegen 0 geht.

3·n^2 / 2^n --> 6·n / (2^n·LN(2)) --> 6 / (2^n·LN(2)·LN(2)) --> 0

Betrachtet man vom zweiten Term den Term unter der Wurzel und wendet auf ihn L'Hospital an

n·(3/4)^n = n / (4/3)^n --> 1 / ((4/3)^n·LN(4/3)) --> 0

Beide Summanden gehen gegen Null womit auch die Summe gegen 0 geht.