Supremum und Infimum von Mengen A=(0,1), B(-∞,2), C=( x aus R / x2+x-1>-2)

Question

Untersuchen  sie die folgenden Mengen auf Existenz von Supremum und Infimum.Geben sie diese, falls sie existieren, explizit an.

 

A=(0,1), B(-∞,2), C=( x aus R / x²+x-1>-2)

 

D= ( 1/n  ohne n aus N),

E= ( (-1ⁿ)/n ohne n aus N)

F= ( n-1/n ohne n aus N)

Comments

n-1/n 

Punkt- vor Strichrechnung beachte? D.h. n minus folgender Bruch: (1/n) 

Meinst du das so?

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ja schon...das meine ich so

Answer 1

Ok.  Dann müssen das aber Mengen (geschweifte Klammern) von Folgengliedern sein. '|' heisst nicht 'ohne' sondern 'wobei'.

 

D= {1/n  wobei n aus N},

E= { (-1ⁿ)/n wobei n aus N}, Klammerung so ist dasselbe wie { (-1) / n wobei n aus N}

F= { n-1/n wobei n aus N}

Also: Annahme N ist ohne 0 gemeint, da Division durch 0 nicht erlaubt.

 

D= {1/n  | n aus N},         Supremum ist 1. Infimum 0.

E= { (-1)ⁿ /n | n aus N},   Hier wäre im Zähler abwechslungsweise 1 und -1. Dann hätte man als Infimum -1 und als Supremum 1/2.

F= { n - 1/n | n aus N}       So wie du das schreibst, gibt es hier kein Supremum, da F nach oben unbeschränkt ist. Infimum ist 1-1=0. 

Sollte F doch anders aussehen. Vgl. 1. Teil von https://www.mathelounge.de/81776/infimum-und-supremum-von-mengen-m1-∈ℝ-fur-ein-n∈ℕ-m2-∈ℝ-m-fur-m∈ℕ

Comments

A=(0,1), supremum(A) = 1, inf(A)= 0

B= (-∞,2), sup(B) = 2, inf(B) existiert nicht

C={ x aus R | x²+x-1>-2}

x^2 + x + 1 > 0           . Links steht mit y = x^2 + x + 1 eine nach oben geöffneten Parabel.

Ihre Nullstellen sind 

x1,2 = 1/2 (-1 ± √(1 - 4)) = 1/2 (-1 ±√(-3))  . Das gibt keine reelle Lösung. Alle Werte von x^2 + x +1 sind grösser als 0. Daher kann x eine beliebige reelle Zahl sein. D.h. C = R.     

inf(C) und sup(C) existieren nicht.