an welcher stelle x0 ist die steigung der tangente genauso groß wie die steigung der sekante

Question

hallo brauche hilfe bei diesen aufgaben, wäre sehr hilfreich wenn da einer sein auge drauf wirft.

 

an welcher stelle x₀ mit x≤x₀ ≤1 ist die steigung der tangente genauso groß wie die steigung der sekante im intervall (0;1)

f(x)= e^x

 

aufgabe 2.

 

der graph einer ganzrationalen funktion 4ten grades hat in P = (0;3) einen sattelpunkt und in Q =(3;0) eine waagerechte tangente. geben sie die gleichung der zugehörigen funktion an.

 

vielen dank schonmal

 

beste grüße

Answer 1

Aufgabe 1)

Die Steigung der Sekante zu e ^x im Intervall [ 0 , 1 ]  ist (Steigungsformel):

m = ( e¹ - e⁰ ) / ( 1 -  0 ) = ( e¹ - e⁰ ) = e - 1

Gesucht ist nun eine Stelle x, an der für die Ableitung von f ( x ) gilt:

f ' ( x ) = m

<=> e ^x = e - 1

<=> x = ln ( e - 1 )

<=> x ≈ 0,54132...

 

Aufgabe 2)

Zu bestimmen sind die Koeffizienten a, b, c, d, e der allgemeinen ganzrationalen Funktion 4. Grades

f ( x ) = a x ⁴ + b x ³ + c x ² + d x + e

so dass gilt:

f ( 0 ) = 3

f ( 3 ) = 0

f  ' ( 0 ) = 0

f ' ( 3 ) = 0

f ' ' ( 0 ) = 0

 

Die ersten beiden Ableitungen von f ( x )  sind:

f ' ( x ) = 4 a x ³ + 3 b x ² + 2 c x + d

f ' '  ( x ) = 12 a x ² + 6 b x + 2 c

 

f ( 0 ) = 3

<=> a * 0 ⁴ + b * 0 ³ + c * 0 ² + d * 0  + e = 3

<=> e = 3

 

f ' ( 0 ) = 0

<=> 4 * a * 0 ³ + 3 * b * 0 ² + 2 * c * 0 + d = 0

<=> d = 0

 

f ' ' ( 0 ) = 0

<=> 12 * a * 0 ² + 6 * b * 0 + 2 c = 0

<=> 2 c = 0

<=> c = 0

 

f ' ( 3 ) = 0

<=> 4 * a * 3 ³ + 3 * b * 3 ² + 2 * c * 3 + d = 0

ausmultiplizieren und bereits bekannte Parameterwerte einsetzen:

<=> 4 * a * 3 ³ + 3 * b * 3 ² + 2 * 0 * 3 + 0 = 0

<=> 108 a + 27 b = 0

<=> 4 a + b = 0

<=> b = - 4 a

 

f ( 3 ) = 0

<=> a * 3 ⁴ + b * 3 ³ + c * 3 ² + d  * 3 + e = 0

ausmultiplizieren und bereits bekannte Parameterwerte einsetzen:

<=> 81 * a + 27 * ( - 4 a ) + 0 * 9 + 0 * 3 + 3 = 0

<=> 81 a - 108 a + 3 = 0

<=> - 27 a = - 3

<=> a = 1 / 9

=>  b = - 4 a = - 4 / 9

 

Somit lautet die gesuchte Funktion:

f ( x ) = ( 1 / 9 ) x ⁴ - ( 4 / 9 ) x ³ + 0 x ² + 0 x + 3

= ( 3 / 17 ) x ⁴ - ( 12 / 17 ) x ³ + 3

 

Hier ein Schaubild dieser Funktion:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F9%29x^4-%284%2F9%29x^3%2B3+from+-3+to+4+