Konvergenz der Folgen beweisen und Grenzwerte bestimmen. an:= (5-3n)/(5n-3)

Question

Zeigen Sie, dass die nachstehenden Folgen \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right),\left(c_{n}\right),\left(d_{n}\right) \) konvergieren und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

\( \begin{array}{llll}\text { a) } a_{n}=\frac{5-3 n}{5 n-3} & \text { b) } b_{n}=\frac{(5-3 n)^{3}}{(5 n-3)^{3}} & \text { c) } c_{n}=\frac{5-\sqrt{3 n}}{5 n-3} & \text { d) } d_{n}=\frac{\left(3 n^{2}-86\right)^{2}}{(5 n-7)(2 n+7)^{3}}\end{array} \)

Comments

"Wie konvergiere ich und bestimmte die Grenzwerte?"

Betrifft die Überschrift... Das Wort konvergieren wird im mathematischen Zusammenhang nur intransitiv verwendet, du kannst nicht etwas "konvergieren".

Du kannst auch nicht selbst konvergieren, höchstens im übertragenen Sinne.

Du kannst allerdings den Grenzwert eines Ausdruckes bilden, der endlich ist, falls der Ausdruck konvergiert.

Answer 1

Berechne die Grenzwerte. Da ist automatisch klar, dass sie existieren.

an:= (5-3n)/(5n-3)             |oben und unten durch n

an = (5/n - 3)/(5 - 3/n)

Nun lim an für n gegen unendlich.

Grenzwert a = (0-3)/(5-0) = -3/5 = -0.6

Da bn:= (5-3n)^3/(5n-3)^3 = ( (5-3n)/(5n-3))^3, gilt Grenzwert von bn ist b = a^3 = -27/125 

cn. Trick oben und unten durch n dividieren

cn:= (5-√(3n) / ( 5n-3) = (5/n - √3/√n) / (5-3/n)

= ((1/√n)(5/√n - √3)) / (5-3/n)

Grenzwert ergibt (Anm. Schreib das schön mit Limessymbol)

c = (0*(-√3))/5 = 0

d Trick: oben und unten durch n^4 Teilen. Diese n^4 geschickt auf die Klammern aufteilen. Daher obere Klammer durch n^2 und untere je durch n.

dn = (3 - 86/n^2)^2 / ((5-7/n)*(2+ 7/n)^3

Grenzwert n--> unendlich

d = (3-0)^2 /((5-0)(2+0)^3 = 9/(5*27) = 9/135