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Die Funktion f : RnR f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} habe stetige partielle Ableitungen, die

fxj(x)K,j=1,,n \left|\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\underline{x})\right| \leq K, \quad j=1, \ldots, n

für alle xRn \underline{x} \in \mathbb{R}^{n} erfüllen. Zeigen Sie, dass

f(x)f(y)nKxy2 |f(\underline{x})-f(\underline{y})| \leq \sqrt{n} \cdot K \cdot\|\underline{x}-\underline{y}\|_{2}

gilt.

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Hi,
es gilt der Mittelwertsatz der für Funktionen f ⁣ : RnR f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R wie folgt aussieht
f(x)=f(x0)+f(ξ)(xx0) f(x)=f(x_0)+\nabla f(\xi)(x-x_0) Daraus folgt
f(x)f(x0)f(ξ)2xx02Knxx02 |f(x)-f(x_0)|\le \|\nabla f(\xi) \|_2\|x-x_0\|_2\le K\sqrt{n}\|x-x_0\|_2
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