Die Funktion f : Rn→R f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} f : Rn→R habe stetige partielle Ableitungen, die
∣∂f∂xj(x‾)∣≤K,j=1,…,n \left|\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\underline{x})\right| \leq K, \quad j=1, \ldots, n ∣∣∣∣∂xj∂f(x)∣∣∣∣≤K,j=1,…,n
für alle x‾∈Rn \underline{x} \in \mathbb{R}^{n} x∈Rn erfüllen. Zeigen Sie, dass
∣f(x‾)−f(y‾)∣≤n⋅K⋅∥x‾−y‾∥2 |f(\underline{x})-f(\underline{y})| \leq \sqrt{n} \cdot K \cdot\|\underline{x}-\underline{y}\|_{2} ∣f(x)−f(y)∣≤n⋅K⋅∥x−y∥2
gilt.
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