stetig partielle Ableitungen

Question

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) habe stetige partielle Ableitungen, die

\( \left|\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\underline{x})\right| \leq K, \quad j=1, \ldots, n \)

für alle \( \underline{x} \in \mathbb{R}^{n} \) erfüllen. Zeigen Sie, dass

\( |f(\underline{x})-f(\underline{y})| \leq \sqrt{n} \cdot K \cdot\|\underline{x}-\underline{y}\|_{2} \)

gilt.

Answer 1

Hi,
es gilt der Mittelwertsatz der für Funktionen \( f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R \) wie folgt aussieht
$$ f(x)=f(x_0)+\nabla f(\xi)(x-x_0) $$ Daraus folgt
$$ |f(x)-f(x_0)|\le \|\nabla f(\xi) \|_2\|x-x_0\|_2\le K\sqrt{n}\|x-x_0\|_2 $$