Funktion in Taylor-Formel überführen

Question

Ich soll die Taylor-Formel für 

f(x) = (25+x)^1/2 mit n=1 bilden

Die Taylorformel ist doch nichts anderes als 

$$f(x)≈f(xo)+\frac { f'(xo) }{ 1! } (x-xo)+\frac { f''(xo) }{ 2! } (x-xo)^{ 2 }+...+\frac { { f }^{ (n) }(xo) }{ n! } (x-xo)^{ n }$$

+ das sogenannte Restglied/Taylorpolynom, mit dessen Hilfe ich die Fehlerquote der Approximierung ermitteln kann. Das wäre bei der Formel oben ja so noch nicht gegeben.

Das Restglied nach Lagrange sieht so aus:

1/(n+1)! * f⁽ⁿ⁺¹⁾ * (c)xⁿ⁺¹

Ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig verstehe. Ich soll f(x) = (25+x)^1/2 in die Taylor-Formel überführen. 

Was sagt mir das n=1? Ist das der Grad der Approximierung? Also soll ich die Funktion linear approximieren und untersuchen inwieweit sich die Approximierung von der eigentlichen Funktion unterscheidet bzw. die Fehlerquote ermitteln?

Mein Lösungsvorschlag ist: 

$$f(x)≈f(xo)+\frac { f'(xo) }{ 1! } (x-xo)+\frac { 1 }{ (n+1)! } f^{ (n+1) }*(c)x^{ n+1 }$$

n müsste ich dann durch 1 ersetzen. Nur habe ich ja gar kein x₀, was bei der Formel doch noch gebraucht wird

 

Sorry das ich das Forum so mit Fragen vollspame...

Answer 1

Hi,
Du hast richtig vermutet, n=1 bedeutet, Du must die Taylorreihe nur bis zum 1-ten Glied entwickeln und das Restglied berechnen. In Deiner Restgliedformel hast Du schon implizit angenommen, dass der Entwicklungspunkt \( x_0=0 \)ist. Denn ansonsten lautet es $$ \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ und \( \xi \) zwischen \( x_0 \) und \(x \)
Bei Dir taucht aber das \( x_0 \) gar nicht mehr auf, ist also gleich 0 gesetzt worden.

Ich würde mal als Entwicklungspunkt \( x_0=0 \) annehmen, da nichts anderes angegeben ist.

Außerdem muss ich sagen, dass das hier eine von den besseren Fragen ist, da Du Dir schon Gedanken über Lösungsmöglichkeiten gemacht hast. Viele andere machen das nicht, dass finde ich gut.

Comments

Danke für deine Antwort.

Wenn ich also keinen expliziten x Wert, also Entwicklungspunkt habe, ist von x = x₀ = 0 auszugehen?

Wenn es heißt ich soll das Taylor Polynom der zweiten Ordnung von f(x) um den Ursprung bestimmen, bedeutet das, dass ich die 0 Stelle der Funktion ermitteln soll und dieser Punkt dann mein x₀ ist?

Außerdem würde mich noch interessieren was genau das c in der Restglied Formel ist 

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Zu Deiner ersten Frage:
Nein, das habe ich nur angenommen. Vielleicht ist sie auch nur vergessen worden. Aber mit einem Punkt musst Du ja rechnen, und das ist der üblichste.

Zu Deiner zweiten Frage:
Nein, ich würde den Ursprung als den Ursprung des Koordinatensystems betrachtetn und eher um x=0 entwicklen.

Zu Deiner dritten Frage:
Das c in der Restgliedformel ist ein passender Wert zwischen dem Entwicklungspunkt \( x_0 \) und dem Wert \( x \) s.d. das Taylorpolynom inkl. Restglied exakt der zu entwickelnden Funktion entspricht.

Als einfaches Bespiel 1-ter Ordnung nehme den Zwischenwert der Differentialrechnung, dann gilt

$$ \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi) $$ mit einem geeigneten \( \xi \) zwischen \( x \) und \( x_0 \)

Aufgelöst ergibt sich das Taylorpolynom 0-ter Ordnung

$$ f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) $$ mit dem Restglied \( f'(\xi)(x-x_0) \)

und so ist es auch gemeint, wenn man die Taylorreihe höherer Ordnung entwickelt.

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Danke, also ist es im Prinzip immer dasselbe. Ich schaue wie groß mein n ist, baue mir dann entsprechend meine approximation mit n Elementen zusammen und hänge das restglied hinten dran. Ist mein n = 5, muss ich mir die approximation bis zum 5. grad zusammenbauen und dann einfach das restglied hinten dranhängen. Wie genau ich das berechne weiß ich zwar noch nicht aber das kommt hoffentlich noch :D