Für welches c ist die Matrix orthogonal?

Question

Eine \( (n, n) \) - Matrix \( A \) heisst orthogonal, wenn gilt \( A^{T} A=E \), d.h. wenn \( A \) invertierbar ist \( \operatorname{mit} A^{-1}=A^{T} \).

(a) Untersuchen Sie, ob die Matrix

\( \frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right) \)

orthogonal ist.

(b) Für welches \( c \in \mathbb{R} \) ist die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} \sqrt{3} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ c & 0 & \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{array}\right) \)

orthogonal?

(c) Was kann man über die Determinante einer orthogonalen Matrix aussagen?

Answer 1

Hi,

zu a)
wenn Du die inverse berechnet hast, wirst Du sehen das sie mit der transponierten übereinstimmt, deshalb ist A orthogonal. Im Vorgriff auf Aufgabe c, berechne die Determinante, wenn sie 1 ist ist die Matrix orthogonal.

zu b)
Auch hier ist der einfachste Weg, die Determinate zu berechnen, das Ergebnis ist \( \frac{3}{4}- \frac{c}{2} \) udn das ist 1 für \( c=-\frac{1}{2} \)

zu c)
Es gilt \( det(A^{-1})=\frac{1}{det(A} \) und \( det(AB)=det(A)det(B) \) daraus folgt, \( det(AA^T)=det(AA^{-1})=\frac{det(A)}{det(A)}=1\)

Comments

Es gibt Matrizen mit Determinante 1, die nicht orthogonal sind. Deine Antwort scheint was anderes zu implizieren. Ebenso gibt es orthogonale Matrizen deren Determinante nicht 1sondern -1 ist.

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Da  hast Du recht, für orthogonale Matrizen gilt nur der Betrag der Determinate ist 1. Bei Aufgabe a) und c) ändert sich nichts, aber bei b) kommt eine neue Lösung hinzu, nämlich c=7/2

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Du hast scheinbar nur meinen halben Kommentar gelesen. Es ändert sich bei der a9 sehr wohl was. Dein letzter Halbsatz "wenn sie 1 ist ist die Matrix orthogonal." ist falsch. Es folgt aus det(A)=1,-1 nicht, dass die Matrix orthogonal ist. Das ist ein notwendiges, kein hinreichendes Kriterium.