Aus Vektorlänge den Vektor berechnen, um zu zeigen, dass die Vektoren orthogonal sind

Question

Zeigen sie, dass Vektor(u) und Vektor(b) orthogonal sind.

$$ | \vec{a} | = 4 \\ | \vec{b} | = \sqrt{3} \\ \text{Winkel } ( \vec{a}, \vec{b}) = 30° \\ \vec{u} = \vec{a} - 2 \vec{b} $$

Comments

Ist das eine Frage im Zwei- oder Dreidimensionalen?

Die Vektoren a, b und u liegen in derselben Ebene. Du kannst somit eine 2-dim Skizze erstellen.

Answer 1

Das kann man eigentlich mit dem Pythagoras beweisen, wenn man da schon weiss, wie man Vektoren addiert.

vgl. Abbildung. Meine Lösung beginnt in der unteren Skizze und geht dann in der oberen weiter.

Answer 2

Nach dem Cosinussatz ist die Länge von Vektor u

u^2 = a^2 + (2*b)^2 - 2*a*b*cos(30)
u^2 = 4^2 + (2*√3)^2 - 2*4*2√3*cos(30) = 4
u = 2

Jetzt schaue ich mit dem Pythagoras.

u^2 + (2b)^2 = a^2
2^2 + (2√3)^2 = 4^2
4 + 12 = 16

Das stimmt. Also ist das Dreieck rechtwinklig.

Man könnte auch zunächst davon ausgehen das das Dreieck rechtwinklig ist und schauen ob "cos(30) = 2√3 / 4" ist. Da es stimmt muss das dreieck demzufolge rechtwinklig sein.

PS: Es ist zweckmäßig, dass du dir hier eine zweidimensionale Skizze machst.