Wie ist die Herleitung dieser Formel?

Question

Mit dieser Reihe kann man die Zahl e nährungsweise berechnen.
Auch für die Taylor-Entwicklung der Sinusfunktionn und der Kosinusfunktion konvergiert das Restglied gegen 0. Daher kann man auch bei diesen Funktionen die Taylorenentwicklung als unendliche Reihe schreiben. Es gillt für alle x∈ℝ

e= 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!...= ∑_i=0^∞1/n!

Ich habe jetzt einfach so gemacht:

∑_i=0¹⁰1/n! = 2.718281801

Das ist doch die Zahl e oder?

 

Aber wie kam man auf diese Formel??

 

Und wie müsste man diese Aufgabe berechnen:

Wie lauftet der Taylor-Entwicklung an der Stelle x₀=1 für:

a) (1) n=5  (2) n= 2  (3) n= 1

Answer 1

Hi,
die Taylorreihe für \( e^x \) im Entwicklungspunkt \( x_0=0 \) lautet ja,
$$ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^n}{n!} $$
Wenn Du nun \( x=1 \) setzt, bekommst Du
$$ e^1=e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1^n}{n!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{n!} $$
Und das ist Deine Formel.
Für einen beliebigen Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet die Taylorreihe
$$ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{x_0}}{n!}(x-x_0)^n $$
Jetzt einfach das \(x_0=1\) einsetzen und die Reihe bis zur gewünschten ausrechnen und fertig.

Comments

Hi Ullim

Danke für deine Antwort.

Hmm und was wenn ich 1 einsetze?? Ich weiß ich kann das nicht machen, weil da 1+1/1!+1/2! ... steht oder?

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Hi,

Du meinst, wenn Du für \( x_0=1 \) einsetzt. Das geht natürlich und es kommt dann raus
$$ e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{e}{n!}(x-1)^n=e+\sum_{n=1}^\infty\frac{e}{n!}(x-1)^n $$ und für \(x =1\) erhältst jetzt ebenfalls \(e^1=e\) weil die Summe nur noch Nullen enthält und somit entfällt.

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ahh soory hab mich vertippt ich meinte was würde passieren wenn ich 2 einsetze?? :)

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Hi,

Du meinst, wenn Du für \( x_0=2 \) und für \(x=1\) einsetzt. Das geht natürlich und es kommt dann raus
$$ e^1=e=\sum_{n=0}^\infty\frac{e^2}{n!}(-1)^n$$ das das richtig ist sieht man daran $$e^2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(-1)^n=e^1 $$ weil die letzte Summe \(e^{-1} \) wie Du an der Taylorreihe um \(x_0=0\) sehen kannst.

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Ahso ok Danke:)

Und wie würdest Du diese Aufgabe hier lösen?

 

Nr 4.

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Kannst Du das Bild auch mal richtig rum stellen. Für einen alten Mann ist es schwierig, sich auf den Kopf zustellen.

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Oh tut mir leid:)

Hier bitteschön:)

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Hi,
zu b)

$$ e^x=e+R_0 $$ Also ist das Taylorpolynom \( e\) und das Restglied berechnet sich in der Integralform, s. https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel
zu
$$ \int_1^xf'(t)dt $$

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Hi

hä wieso e??

Und wie berechnet man den Restglied?? Ich verstehe das einfach nicht.

Ich kann nur die Nährungsfunktion bestimmen:(

leider habe ich auch nicht sooo großes wissen über die Taylor Sachen ... hab mir das vorgestern selber beigebracht mit hilfe von YT videos ^^

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Hi,

\(e\) ist der erste Term der Taylorreihe, wenn man um \( x_0=1 \) entwickelt. Rechne die Taylorreihe mal aus, die ich Dir hingeschrieben habe.

Das Restglied in der Integralform ist in dem Link erklärt den ich Dir geschickt habe, lese da mal genau nach, es gibt auch zig andere Quellen im Internet.

Answer 2

Kennst du die Taylorentwicklung ?
Damit kannst du eine Näherung einer Funktion erstellen indem du von einer Stelle den Funktionswert und alle Ableitungen hast.

T(x) = f(a) / 0! * x^0 + f'(a) / 1! * x^1 + f''(a) / 2! * x^2 + f'''(a) / 3! * x^3 + ...

Damit kannst du z.B. von der e-Funktion das Taylor-Polynom aufstellen und dann für x eins einsetzen und damit e^1 berechnen. Das ist dann die Taylor-Reihe von e^1 = e.

Comments

Hi Mathecoach:)

Ja die Taylor Entwicklung kann ich. Ich hatte auch schon mehrere Aufgaben dazu gemacht.

Danke für deine Hilfe.


Wie würdest Du denn die untere Aufgabe machen?:)

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Wenn ich wüsste für welche Funktion dort die Taylor-Entwicklung gemacht werden soll wär das hilfreich.

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Naja das kann ich Dir leider auch nicht sagen. Ich mach mal ein Foto. Vielleicht kannst Du ja was wichtiges rauslesen.

 

Neiiinn das ist jetzt falsch rum. Ich hoffe das erkennt man auch so :)

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Und Mathecoach hast du eine Idee? :)

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Mir ist immer noch unklar wo das n eingesetzt werden soll. Ich sehe im Kontext kein n. Aber ich kann den Text ja auch nicht richtig lesen.

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Oh sorry warte ich änder das mal schnell

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Hier Mathecoach:)

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Vielleicht soll man da nur die Taylorentwicklung wie ich sie oben notiert habe aufschreiben. Also für die Funktion f(x) ganz allgemein.