Beim Thema Stetigkeit von Funktionen und beim Thema Grenzwerte bilden sich bei mir noch viele Fragezeichen.
Erstmal zu meiner Definition des Grenzwerts: Wenn ich eine Funktion habe die bspw. Definitionslücken aufweist, möchte ich wissen welchen Wert die Funktion in der Nähe dieser nicht definierten Stelle annimmt. Habe ich zum Beispiel die Funktion f(x) = 1/x kann der Nenner nie 0 werden. Somit hat die Funktion an der Stelle 1/x x=0 einen nicht definierten Bereich. Mit Hilfe des limes, wenn x gegen 0 strebt, bekomme ich also meinen dazugehörigen y Wert raus. Ich wähle also zum Beispiel einen Punkt ganz nah an 0 und erhalte so den Grenzwert meiner Funktion, welcher dann halt mein entsprechender y Punkt ist. Ist das soweit alles korrekt?
Zum Thema Stetigkeit: Hier verwirrt mich folgender Satz: Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = x0 stetig, wenn kleine Änderungen in x kleine Änderungen in f(x) hervorrufen. f(x) ist meine Funktion. Was genau aber ist der Unterschied zwischen x und x0? Ist x der Wert den meine Funktion annimmt, wenn ich einen beliebigen Wert (x0) einsetze? Angenommen ich habe die Funktion f(x) = 1 + x und setze als Funktionswert 1 ein. Wäre 1 dann mein x0 und 2 (also das Ergebnis quasi) mein x?
Es müssen ja 3 Punkte erfüllt sein, damit eine Funktion stetig ist.
1) Die Funktion muss an der Stelle x = x0 (wieder dieses x und x0) definiert sein. Das ist soweit einleuchtend. Wenn ich 1/x als Funktion habe, ist sie bei x=0 nicht definiert, weißt somit eine Lücke auf und ist nicht stetig.
2.)Der Grenzwert von f(x), wenn x gegen x0 strebt, muss existieren. Hiermit kann ich irgendwie gar nichts anfangen. Kann mir diesen Punkt vielleicht jemand anhand eines einfachen Beispiels erklären? Vielleicht verstehe ich es auch nur nicht, weil ich mir beim Unterschied zwischen x und x0 nicht ganz sicher bin. Der Grenzwert einer Funktion ist doch nur vorhanden, wenn die Funktion an einer Stellt nicht definiert ist, oder?
3.) Der Grenzwert muss exakt f(x0) sein. Selbiges Problem wie beim zweiten Punkt.
Wenn ich eine Funktion auf Stetigkeit an einem bestimmten Punkt prüfen soll, muss ich doch eigentlich nur schauen ob die Funktion an diesem Punkt definiert ist oder sehe ich das falsch? Wenn sie in diesem Punkt nämlich eine Definitionslücke aufweist, ist sie nicht stetig. So ist meine Annahme zumindest.
Vielleicht kann hier ja jemand Licht ins Dunkle bringen und mir ein bisschen unter die Arme greifen.
Vielen Danke