Stetigkeit einer Funktion in Form von Grenzwerten

Question

Beim Thema Stetigkeit von Funktionen und beim Thema Grenzwerte bilden sich bei mir noch viele Fragezeichen.

Erstmal zu meiner Definition des Grenzwerts: Wenn ich eine Funktion habe die bspw. Definitionslücken aufweist, möchte ich wissen welchen Wert die Funktion in der Nähe dieser nicht definierten Stelle annimmt. Habe ich zum Beispiel die Funktion f(x) = 1/x kann der Nenner nie 0 werden. Somit hat die Funktion an der Stelle 1/x x=0 einen nicht definierten Bereich. Mit Hilfe des limes, wenn x gegen 0 strebt, bekomme ich also meinen dazugehörigen y Wert raus. Ich wähle also zum Beispiel einen Punkt ganz nah an 0 und erhalte so den Grenzwert meiner Funktion, welcher dann halt mein entsprechender y Punkt ist. Ist das soweit alles korrekt?

Zum Thema Stetigkeit: Hier verwirrt mich folgender Satz: Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = x₀ stetig, wenn kleine Änderungen in x kleine Änderungen in f(x) hervorrufen. f(x) ist meine Funktion. Was genau aber ist der Unterschied zwischen x und x₀? Ist x der Wert den meine Funktion annimmt, wenn ich einen beliebigen Wert (x₀) einsetze? Angenommen ich habe die Funktion f(x) = 1 + x und setze als Funktionswert 1 ein. Wäre 1 dann mein x₀ und 2 (also das Ergebnis quasi) mein x?

Es müssen ja 3 Punkte erfüllt sein, damit eine Funktion stetig ist.

1) Die Funktion muss an der Stelle x = x₀ (wieder dieses x und x₀) definiert sein. Das ist soweit einleuchtend. Wenn ich 1/x als Funktion habe, ist sie bei x=0 nicht definiert, weißt somit eine Lücke auf und ist nicht stetig.

2.)Der Grenzwert von f(x), wenn x gegen x₀ strebt, muss existieren.  Hiermit kann ich irgendwie gar nichts anfangen. Kann mir diesen Punkt vielleicht jemand anhand eines einfachen Beispiels erklären? Vielleicht verstehe ich es auch nur nicht, weil ich mir beim Unterschied zwischen x und x₀ nicht ganz sicher bin. Der Grenzwert einer Funktion ist doch nur vorhanden, wenn die Funktion an einer Stellt nicht definiert ist, oder?

3.) Der Grenzwert muss exakt f(x₀) sein. Selbiges Problem wie beim zweiten Punkt.

Wenn ich eine Funktion auf Stetigkeit an einem bestimmten Punkt prüfen soll, muss ich doch eigentlich nur schauen ob die Funktion an diesem Punkt definiert ist oder sehe ich das falsch? Wenn sie in diesem Punkt nämlich eine Definitionslücke aufweist, ist sie nicht stetig. So ist meine Annahme zumindest.

Vielleicht kann hier ja jemand Licht ins Dunkle bringen und mir ein bisschen unter die Arme greifen.

Vielen Danke

Answer 1

Hi,
Du hast eine beliebige Funktion f(x). Das Argument x kann alle Werte aus dem Definitionsbereich annehmen. Will man z.B. Stetigkeit an einem bestimmten Punkt nachweisen, nimmt man einen solchen speziellen Punkt und nennt in \(x_0\) und sagt, f ist stetig (oder auch nicht stetig) an der Stelle \(x=x_0\) wenn die Funktion eben stetig oder nicht stetig an dieser Stelle ist. x ist also ein beliebiger Wert, \(x_0\) ein spezieller.

Das mit den definitionslücken stimmt in Bezug aus Stetigkeit nicht so wie Du es geschrieben hast. Nehme z.B. die Funktion
$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} $$ Die hat an der Stelle \(x_0=1\) eine Definitionslücke, der Nenner wird 0, wegen der dritten binomischen Formel kürzt sich der Nenner aber raus und man spricht hier von einer hebbaren Lücke.

Reicht das schonmal fürs erste. Ansonsten würde ich mir noch hier die Definition von Stetigkeit mal anschauen und versuchen sie zu verstehen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

insbesondere das \( \epsilon \)- \( \delta \) Kriterium

Comments

Angenommen ich habe eine Funktion und möchte die Stetigkeit dieser Funktion an der Stelle (4/6) bestimmen. In diesem Fall wäre also dieser x₀ = 4? Wenn x einen beliebigen Wert annimmt, wird x also quasi zu meinem x₀?

Vielleicht kannst du ja ein kurzes Beispiel geben, um das ein bisschen zu veranschaulichen. Vielen Dank

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Besonders hiermit:

2.)Der Grenzwert von f(x), wenn x gegen x0 strebt, muss existieren.
3.) Der Grenzwert muss exakt f(x0) sein. Selbiges Problem wie beim zweiten Punkt.

Kann ich noch nicht wirklich viel anfangen.

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Nochmal zu den Grenzwerten:

Hat eine Funktion denn nur einen Grenzwert oder hat jeder x Wert den ich in die Funktion einsetzen kann einen Grenzwert? Angenommen meine Funktion ist f(x) : 2x
Wenn ich nun den Grenzwert der Funktion im Punkt  x = 5 ermitteln möchte, also x gegen 5 strebt. ist das dann 10? Diese Funktion ist ja für alle Werte definiert, somit ist der Grenzwert meiner x Werte doch einfach der dazugehörige y Wert?

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Hi,
also der Ansatz, das die Funktion an der Stelle (4|6) stetig sein soll ist nicht richtig. Du darfst nur den x-Wert betrachten, und zwar in der Weise, dass, wenn die x-Koordinate ein wenig geändert wird, sich auch an der y-Koordinate nur wenig ändert. Etwas besser formuliert heisst das, Du gibst ein beliebig kleines Intervall auf der y-Achse vor und musst nun ein Intervall auf der x-Achse finden, s.d. alle Werte aus diesem Intervall durch die Funktion f(x) in dieses kleine Intervall auf der y-Achse abgebildet wird. Z.B. erfüllt die Funktion die 0 ist für x<0 und 1 für x \(\ge\) 0 nicht das oben genannte Kriterium. Was isch beschrieben habe ist so etwa das \(\epsilon\)-\(\delta\) Kriterium.

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Hi,

vielleicht meinst Du hier so was wie das Folgenkriterium, was besagt, wenn eine Folge \( a_n \to a\) geht, dann muss auch \( f(a_n) \to f(a) \) gehen, sonst ist die Funktion nicht stetig. da in Deinem Fall das der Fall ist, ist die Funktion \( f(x)=2x \) stetig.