1.) Ich behandle mal nur Grenzwerte von Funktionen, das beschreibt das Prinzip schon ganz gut.
Eine Funktion ordnet ja jeder Stelle x einen Wert f(x) zu. Nun kann es aber sein, dass der Verlauf der Funktion an manchen stellen unklar ist, weil sie zum Beispiel einen Sprung macht oder gar nicht definiert ist.
Dann "schiebt" man x quasi immer näher an die problematische Stelle x0 heran und betrachtet das Verhalten von f(x). Ein Beispiel ist
f(x) = sin(x)/x
für x=0 ist die Funktion nicht definiert, da dann durch 0 geteilt werden müsste. Setzt man aber immer kleiner werdenden Zahlen (z.B. 0.1, 0.01, 0.001, ...) ein, dann sieht man, dass sich f(x) immer näher an 1 annähert. Man sagt:
limx→0 f(x) = 1
Der Grenzwert von f für x gegen 0 ist 1.
Wenn man das Verhalten einer Funktion im Unendlichen betrachten möchte, dann schreibt man formal
limx→∞ f(x)
und meint damit, dass für x immer größere Werte eingesetzt werden und das Verhalten von f(x) überprüft wird.
Betrachten wir wieder das Beispiel von oben:
f(x) = sin(x)/x
Weil sin(x) nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, gilt
|f(x)| < 1/x
Setzt man in 1/x beliebig große Werte für x ein, dann wird der Term beliebig klein, man schreibt:
limx→∞ 1/x = 0
Und da |f(x)| nach oben durch 1/x beschränkt ist, gilt auch
|f(x)| → 0
also auch
f(x) → 0
Man sagt jetzt: f geht im Grenzwert für x gegen Unendlich gegen Null.
2.) Unter einer Asymptoten versteht man eine Gerade, der sich eine Funktion in einem Grenzwertverfahren beliebig genau annähert.
Ein Beispiel:
f(x) = x + 1/x
für große x wird 1/x beliebig klein, sodass sich die Funktion im Grenzwert an die Funktion g(x)=x anschmiegt.
Außerdem besitzt die Funktion eine senkrechte Asymptote (auch Polstelle genannt) bei x = 0, dort wird der Term 1/x beliebig groß.
3.) Die Grenzwertregeln: Sei limx→x0 f(x) = y0, limx→x0 g(x) = z0, dann gilt:
limx→x0 (f(x)+g(x)) = y0+z0
limx→x0 (f(x)*g(x)) = y0*z0
Sei ferner limt→t0 h(t) = x0, dann gilt:
limt→t0 f(h(t)) = y0
Und falls z0 ≠ 0, sowie g(x)≠0 in einer Umgebung um x0:
limx→x0 (f(x)/g(x)) = y0/z0
Mit anderen Worten: wenn alle Grenzwerte existieren, kann man Addition, Multiplikation, Superposition und Division beliebig mit dem Grenzwertprozess vertauschen.
Das bedeutet z.B.:
limx→0 (cos(x)+2x+3) = limx→0 cos(x) + limx→0 2x + limx→0 3 = 1 + 2*0 + 3 = 4
a) Die Funktion ist nicht definiert, wenn durch 0 geteilt wird. Die maximale Definitionsmenge ist also:
D = ℝ\{0}
Die Menge der reellen Zahlen außer der 0.
Für x gegen + oder - Unendlich verschwindet der zweite Term und die Funktion geht gegen 2.
b) Mit dem gleichen Argument wie eben ergibt sich:
D = ℝ\{-3}
Um das Verhalten für x gegen Unendlich zu ermitteln, klammert man oben und unten die größte Potenz von x aus:
(5-4x)/(2x+6) = x*(5/x-4) / (x*(2+6/x))
Jetzt kann man das x kürzen:
= (5/x - 4)/(2+6/x)
Weil jetzt jeder vorkommende Term konvergiert, kann man die Grenzwertsätze anwenden. Dann verschwinden die ~1/x-Terme und übrig bleibt
-4/2 = -2
Jetzt geh ich erstmal schlafen, vielleicht schaffst du ein paar der Aufgaben ja jetzt auch allein?
