Wie kann man die Parabel "auf den Kopf stellen"? Geogebra

Question

Zeichnen Sie (mit Geogebra) die beiden Geraden zu \( f_{1}(x)=2 x-4 \) und \( f_{2}(x)=1 / 2 x-3 \)

sowie den Graphen zum Produkt \( f_{3}(x)=f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \)

Die Funktionsterme von \( f_{1}(x) \) und \( f_{2}(x) \) sollen so verändert werden (dabei linear bleiben), dass sich der Graph von \( \mathrm{f}_{3}(\mathrm{x}) \) nach bestimmten Regeln verändert.

1. Wie kann man die Parabel "auf den Kopf stellen"?

2. Was muss man tun, damit eine Parabel entsteht, die die \( x \)-Achse berührt?

3. Was muss man tun, damit der Scheitelpunkt der entstehenden Parabel dieselben x-Koordinaten hat wie der Schnittpunkt der beiden linearen Funktionsgraphen?

4. Welche Art von Parabeln kann man auf diese Art und Weise nicht erzeugen?

Answer 1

f1 = 2 * x - 4
f2 = 1/2 * x - 3

f3 = f1 * f2
f3 ( x ) = x^2 - 8 * x + 12

1.) f3 = -f3 entspricht der Spielgelung an der x-Achse.

" Auf den Kopf gestellt " müßte sein
-x^2 +  8 * x - 20

2.)
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei ( 4  | -4 );
und es gibt 2 Nullstellen.
Die Forderung ist erfüllt wenn der Scheitelpunkt die
x-Achse berührt. Dazu muß die Parabel um 4 Einheiten
nach oben verschoben werden um den Scheitelpunkt
( 4  | 0 ) zu bekommen
f3 ( x ) = x^2 - 8 * x + 12
verschoben nach oben
f4 ( x ) = x^2 - 8 * x + 12 + 4
f4 ( x ) = x^2 - 8 * x + 16

3.)
Kann ich dir nicht helfen.
Der Schnittpunkt ist
f1 = f2 bei x = 2/3.
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts bei x = 4.
Wie das geändert werden kann weiß ich nicht.

4.) Weiß ich auch nicht und will jetzt zum Abendessen.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Nachtrag zu 4.)
Es gilt
Parabel = ( Geradengleichung1 ) * ( Geradengleichung2 )
ax^2 + bx + c = ( m1 * x + b1 ) * ( m2 * x + b2 )
( m1 ≠ 0 ) und/oder ( m2 ≠ 0 ) sonst gibt es keine Parabel
f1 hat eine Nullstelle
f2 hat eine Nullstelle
Also muß die Parabel, als Produkt beider Funktionen,  entweder
- 2 Nullstellen haben
- oder 1 Nullstelle haben ( Berührungpunkt )

Parabeln die stets oberhalb der x-Achse sind oder
stets unterhalb der x-Achse sind dürften sich nicht
erzeugen lassen.

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Nachtrag zu 3.)
Ohne eine Änderung der Steigung einer Geraden dürfte dies nicht
möglich sein.
Falls m1 = -m2 dann haben der Schnittpunkt der Geraden und der
Scheitelpunkt der Parabel die gleiche x-Koordinate.

mfg Georg