die Antwort ist ja. Der Begründung liegt in der Tatsache, dass eine endliche Punktmenge auch eine endliche Anzahl von Verbindungsgeraden paarweiser Punkte hat. (Zum Beispiel haben 4 Punkte insgesamt 6, also endlich viele, Verbindungsgeraden.)
Zu einer endlichen Anzahl von Geraden \( g_i \) kann man eine Gerade \( g^* \) finden, die zu keiner dieser Geraden parallel ist. Diese Gerade \( g^* \) verschiebt man nun geeignet.
Man weiß nun dabei, dass es immer genügend kleine \( \epsilon \) gibt, sodass die Verschiebung der Geraden \( g^* \) um \( \epsilon \) (ohne Einschränkung zum Beispiel senkrecht zur Geraden \( g^* \)) diese über maximal einen Punkt hinweggehen lässt. Somit kann man ausgehend von der Teilung in die Hälften \( 0 \) und \( 2n \), das heißt die Gerade \( g^* \) liegt außerhalb der Punktmenge (kreuzt keine Verbindungsstrecke \( \bar{g_i} \)), die Gerade \( g^* \) solange um verschiedene entsprechende \( \epsilon_i \) verschieben, bis die Teilung \( n \) und \( n \) erreicht ist.
Es genügen dabei \( n \) Verschiebungen um \( \epsilon_i \). Die Gesamtverschiebung beträgt dann
\( \epsilon = \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \)
von der beliebigen Ausgangslage außerhalb der Punktmenge ausgehend zu jener Lage, die die Punktmenge in \( n \) und \( n \) Punkte aufteilt.
MfG
Mister
PS: Das gleiche beziehungsweise ein ähnliches Argument kann man auch für Punktmengen im Raum und Ebenen konstruieren: Man konstruiert die Teilungsebene \( G^* \) dann aus zwei nicht parallelen Geraden \( g^*_1 \) und \( g^*_2 \), die zu allen Verbindungsgeraden nicht-parallel sind, sodass \( g^*_1 \) und \( g^*_2 \) die Ebene \( G^* \) aufspannen.
