Aufgabe, Orthogonalität, Polynome

Question

Man betrachte den Vektorraum der Polynome höchstens zweiten Grades P₃(x) mit dem inneren Produkt 

<p,q>=$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ p(x)q(x)dx }$$

Sind die Polynome p=x und und q=x² orthogonal zueinander? 

Sind die Polynome p=x³+1 und q=x-1 linear unabhängig? 

Answer 1

in einem Hilbertraum sind zwei Elemente senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt:

\( <p, q> = \int_{-1}^{1} p(x) q(x) dx = [ \frac{x^4}{4} ]^{1}_{-1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 \).

Diese Polynome sind senkrecht zueinander.

MfG

Mister

Comments

 

wie kommst du auf x⁴/4 ?

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Es ist die Stammfunktion von \( x^3 \).

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Die Polynome \( p \) und \( q \) sind linear unabhängig, wenn ihr "Winkel" ungleich \( 0 \) ist, also der Kosinus dieses Winkels ungleich \( 1 \), das heißt, wenn gilt

\( <p, q> \neq \sqrt{<p, p>} \sqrt{<q, q>} \),

ausgehend von der Formel

\( <p, q> = \sqrt{<p, p>} \sqrt{<q, q>} \cdot \cos(\alpha(p, q)) \),

wobei wiederum

\( |p| \equiv \sqrt{<p, p>} \)

definiert ist. Vergleiche mit  https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt .

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Könntest du die Lineare Abhängigkeit explizit bei dieser Aufgabe zeigen?

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Das kannst du prinzipiell auch selbst, du weißt ja, wie das Skalarprodukt definiert ist und wie man es ausrechnet. Du musst \( < p, q > \), \( < p, p > \) und \( < q, q > \) bestimmen.

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Ja, <p,q>, <p,p> und <q,q> sind 3 Elemente der Gramschen 2x2-Matrix G(p,q) ( das 4te Element ergibt sich durch die Symmetrie des Skalarprodukts ). Und 2 Vektoren p,q sind genau dann linear unabhängig, wenn det G( p, q ) ungleich 0 ist.

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Interessante Sichtweise. Dies ist äquivalent zu der Aussage

\( <p, q> \neq \sqrt{<p, p>} \sqrt{<q, q>} \).