Nullstellen suchen und negative Wurzel

Question

6x^2 - 38x + 64 = 0

Wie kann ich hier gleich nochmal die Nullstelln suchen?

Normalerweise nutze ich dafür die Mitternachtsformel, aber geht hier nicht, weil negative Wurzel.

Comments

Es gibt keine reellen Nullstellen. Die Nullstellen sind hier komplex.

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Dann existieren keine reellen Nullstellen. Das Schaubild der zugehörigen Parabel hat keine Schnittstellen mit der x-Achse.

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Hmm, wie kann man dann ein Minimum feststellen?

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Die Ableitung null setzen. So findest du die Extrema. Erneut ableiten, herausfinden ob Minimum oder Maximum.

Answer 1

Hmm, wie kann man dann  ein Minimum feststellen?

Das gelingt etwa dadurch, dass du den Funktionsterm in die Scheitelpunktform bringst und daraus die Scheitelstelle abliest.

f ( x ) = 6x² - 38x + 64

= 6 ( x ² - ( 19 / 3) x ) + 64

= 6 ( x ² - ( 19 / 3) x + ( 19 / 6 ) ² - ( 19 / 6 ) ² ) + 64

= 6 ( ( x - ( 19 / 6 ) ) ² - ( 19 / 6 ) ² + 64

= 6  ( x - ( 19 / 6 ) ) ² - 6 * ( 19 / 6 ) ² + 64

= 6  ( x - ( 19 / 6 ) ) ² - ( 361 / 6 ) + 64

= 6  ( x - ( 19 / 6 ) ) ² - ( 361 / 6 ) + ( 384 / 6 )

= 6  ( x - ( 19 / 6 ) ) ² + 23 / 6

Also:

Scheitelpunkt S ( 19 / 6 | 23 / 6 )

Die Scheitelstelle ist also x = 19 / 6 .
Da es sich bei dem Graphen von f ( x ) um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (positiver Koeffizient 6 des quadratischen Gliedes von f) , ist dies gleichzeitig die Minimalstelle der Parabel.

 

EDIT:

Falls du schon Ableitungen bilden kannst, ist allerdings der Weg von georgborn zu empfehlen, weil jener Weg  deutlich einfacher und schneller zum Ziel führt.

Comments

Entschuldigt, wenn ich das nicht direkt gesagt habe, dachte wenn ich = 0 schreibe, ist das verständlich. Die Hleichung im Startpost ist die nullgesetzte 1. Ableitung. Diese ist nicht mit der Mitternachtsformel einfach so lösbar. Das ist das Problem.

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Nun, wenn

f ' ( x ) = 6 x² - 38 x + 64

die erste Ableitung der ursprünglichen Funktion ist, dann ist also:

f ( x ) = 2 x ³ - 19 x ² + 64 x

die ursprüngliche Funktion.

 

Der Graph dieser Funktion sieht so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x^3-19x^2%2B64x

und der hat ganz offenbar keine Extremstelle sondern ist überall streng monoton steigend.

Daher hat auch die Ableitung

f ' ( x ) = 6 x² - 38 x + 64

keine Nullstelle.

Und weil das so ist, kannst du auch keine Nullstelle von f ' ( x )  finden :-)

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Verstehe. Hoffe ihr habt noch etwas Geduld. Die Aufgabe lautet:

Ein Betrieb kennt die Grenzkosten eines seiner Produkte:


K'=6x^2 - 38x +64 (Produktionsstillstand kostet 4 GE)


Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze. Google sagte mir, ich könne das über die Kosten ausrechnen.

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Dazu aus dem Wikipedia-Artikel zum Stichwort "Betriebsoptimum":

( https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebsoptimum )

Berechnet wird das Betriebsoptimum, indem man die erste Ableitung der Stückkostenfunktion = 0 setzt. Setzt man anschließend den auf diese Weise ermittelten x-Wert in die Stückkostenfunktion ein, so erhält man die langfristige Preisuntergrenze.

Du musst also erst die Stückkostenfunktion k ( x ) berechnen. Diese kann aus der Grenzkostenfunktion bestimmt werden:

K ' ( x ) = 6 x ² - 38 x + 64

Daraus ergibt sich durch Integration die Kostenfunktion

K ( x ) =  2 x ³ - 38 x ² + 64 x + C

und daraus durch Division durch die Stückzahl x die Stückkostenfunktion:

k ( x ) = K ( x ) / x = 2 x ² - 38 x  + 64 + C 

 

Diese Stückkostenfunktion k ( x ) musst du nun ableiten und die Ableitung gleich Null setzen, also:

k ' ( x ) = 4 x - 38 = 0

<=> 4 x = 38

<=> x = 38 / 4 = 9,5

Setzt man nun diesen Wert in die Stückkostenfunktion k ( x ) ein und rechnet aus, so erhält man die langfristige Preisuntergrenze:

k ( 9,5 ) = 2 * 9,5 ² - 38 * 9,5  + 64 = - 116,5

Hmm, die langfristige Preisuntergrenze ist negativ ... ?

Irgendwo steckt da wohl noch ein Fehler - ich habe ja auch die Kosten des Produktionsstillstandes noch nicht berechnet ... weiß aber leider auch nicht, wo ich das tun sollte ...

Sorry, aber ich bin nun mal kein Wirtschaftswissenschaftler. Ich denke aber noch weiter drüber nach ...

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/edit: Die Stückkosten werden ja in der Kostenfunktion für die Konstante angeschrieben.

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k(x)=2x^2-19x+64+4/x

k'=(4x^3-19x^2-4)/x^2

Answer 2

" Hmm, wie kann man dann ein Minimum feststellen? "

1.Ableitung bilden und zu 0 setzen
f ( x ) = 6 * x² - 38 * x + 64
f ´( x ) = 12 * x - 38
12 * x - 38 = 0
x = 38 / 12
f ´´( x ) = 12
x = 38 /12 ist ein Tiefpunkt.

Bildlich : die Funktion schneidet die x-Achse nicht.
hat aber ein Minimum. Der Graph hat dies soeben
bestätigt.

mfg Georg