Kegelvolumen. Dreieck, das bei Rotation um die x-Achse einen Kreiskegel erzeugt.

Question

Ich schreibe bald eine klausur und habe die Aufgaben bekommen um zu üben ung weiß nicht wie ich es rechnen soll

Die gerade g(X)=1/2x+1,die x Achse und die gerade mit der Gleichung x=u (u>-2) begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck , das bei Rotation um die x-Achse einen Kreiskegel erzeugt. Für welche reellen Zahlen u beträgt das Volumen dieses kegels 2/3 Pi VE?

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wenn man wüsste, was das Wort "Dachse" bedeutet, dann wüsste man auch, ob die Lösung 0 oder -0,4126 (gerundet) ist

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Dachse= Achse :)

Answer 1

g ( X ) =1/2 * x +1
Die Gerade rotiert um die x-Achse
Die Fläche an der Stelle x ist
A ( x ) = π * [ g ( x ) ]^2  | Kreisgleichung PI * r^2
Die Stammfunktion ist
S ( x ) = ∫ A ( x ) dx
S ( x ) = ∫ π * [ g ( x ) ]^2 dx
S ( x ) = π *  ∫ ( 1/2 * x + 1 )^2 dx
S ( x ) = π *  ∫  1/4 * x^2 + 1 * x + 1  dx
S ( x ) = π *  ( 1/4 * x^3 / 3  +  x^2 / 2 + x  )
Integrationsanfang = 0
V ( x ) = S ( x ) - S ( 0 ) |  S ( 0 ) = 0 und entfällt
V ( x ) = π *  ( 1/4 * x^3 / 3  +  x^2 / 2 + x  ) = 2 / 3 * π  | pi kann gekürzt
werden
( 1/4 * x^3 / 3  +  x^2 / 2 + x  ) = 2 / 3
Dies ist eine Funktion 3.Grades welche mit einem
Näherungsverfahren gelöst werden kann.
x = 0.52

Hast du vielleicht die Lösung ?

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Die Lösung lautet  u₁ = 0  und  u₂ = -0,4126

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Ich bin etwas verwirrt.
Die Gerade schneidet an 2 Stellen die Koordinatenachsen.
( -2 | 0 ) und ( 0 | 1 )

Fälschlicherweise  hatte ich angenommen die Gerade ging durch
den Ursprung.
Der Beginn des Kegels ist bei x = -2 und geht dann
nach rechts bis zu x = u > -2.

Dann müßte bei mir geändert werden
Integrationsanfang = -2
V ( x ) = S ( x ) - S ( -2 )
V ( x ) = π *  ( 1/4 * x³ / 3  +  x² / 2 + x  )_-2^x = 2 / 3 * π 
x = 0
Das müßte jetzt stimmen.
mfg Georg
 

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In der Lösung steht kegelvolum: v= Pi/3( 1/2u+1)^2 *(u+2) und u=0

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Der Kegel geht also von x = -2 bis x = 0. mfg Georg

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π *  ( 1/4 * x³ / 3  +  x² / 2 + x  )  für x = -2
π *  ( 1/4 * (-2)^3 / 3  +  (-2)² / 2 + (-2)  )
π * ( -8/12 + 4/2 - 2 )
π * ( -2/3 )
Wieviel - ( -2/3 * π ) = 2/3 * π
Wieviel ist 0.
also
 ( 1/4 * x³ / 3  +  x² / 2 + x  ) für x = 0
gleich 0
Die Berechnung mit einem Näherungsverfahren kann
also entfallen.
Bei Fragen wieder melden.
mfg Georg