Halbwertszeit Plutonium: Menge nach bestimmten Jahren angeben

Question

Plutonium 239 , Halbwertszeit : 24400 Jahre a) jetzt : 20 kg, welche menge vor 10 jahren und welche in 100 Jahren? B) wieviel Prozent einer menge sind nach 10^3 ; 10^4 ; 10^5 Jahren vorhanden? C)wie lange bis 10; 90 ; 99% zerfallen sind?

Answer 1

( 1 / 2 ) * N ( 0 ) = N ( 0 ) * a ²⁴⁴⁰⁰

<=> 1 / 2 = a ²⁴⁴⁰⁰

<=> a = ²⁴⁴⁰⁰√ ( 1 / 2 ) = 0,99997159...

Also:

N ( t ) = N ( 0 ) * 0,99997159... ^t

a)

Masse jetzt: 20 kg

Welche Menge vor 10 Jahren?

20 = N ( 0 ) * 0,99997159... ¹⁰

<=> N ( 0 ) = 20 / 0,99997159... ¹⁰  ≈ 20,000568... kg

und welche in 100 Jahren?

N ( 100 ) = N ( 0 ) * 0,99997159... ¹⁰

= 20 * 0,99997159... ¹⁰  ≈ 19,99431927... kg

 

b)

wieviel Prozent einer menge sind nach 10 ³ Jahren vorhanden?

P = N ( 10 ³ ) / N ( 0 )

= N ( 0 ) * 0,99997159... ¹⁰⁰⁰ / N ( 0 )

= 0,99997159... ¹⁰⁰⁰ ≈ 0,972 = 97,2 %

wieviel Prozent einer menge sind nach 10 ⁴ Jahren vorhanden?

P = N ( 10 ⁴ ) / N ( 0 )

= 0,99997159... ¹⁰⁰⁰⁰ ≈ 0,753 = 75,3 %

wieviel Prozent einer menge sind nach 10 ⁵ Jahren vorhanden?

P = N ( 10 ⁵ ) / N ( 0 )

= 0,99997159... ¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 0,058 = 5,8 %

 

c)

wie lange bis 10 % zerfallen sind?

N ( t ) / N ( 0 ) = 0,9

<=> N ( 0 ) * 0,99997159 ^t / N ( 0 ) = 0,9

<=> 0,99997159 ^t = 0,9

<=> t * log ( 0,99997159 ) = log ( 0,9 )

<=> t = log ( 0,9 ) /  log ( 0,99997159 ) ≈ 3708,9 Jahre

wie lange bis 90 % zerfallen sind?

N ( t ) / N ( 0 ) = 0,1

<=> t = log ( 0,1 ) /  log ( 0,99997159 ) ≈ 81055,0 Jahre

wie lange bis 99 % zerfallen sind?

N ( t ) / N ( 0 ) = 0,01

<=> t = log ( 0,01 ) /  log ( 0,99997159 ) ≈  162110,1 Jahre

Comments

Ich weiß nicht ob das richtig sein soll ? :/

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Bei JotEs muss man das nicht hinterfragen. Was er sagt ist richtig^^.

Du könntest vielleicht erzählen wo Du nicht folgen kannst. Was Du nicht verstehst. Dann kann geholfen werden ;).

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Ich hätte gerne gewusst wie man das mit e und ln rechnet aber ist jetzt auch nicht mehr so wichtig . Bei diesem lösungsweg sehe ich halt nicht so durch :)

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Nun, ich habe zunächst die Zerfallsfunktion N ( t ) aufgestellt, die angibt, wieviel Plutoniummasse nach einer Zeit t (in Jahren) von einer anfänglichen Masse noch übrig sind. Diese Zerfallsfunktion muss eine Exponentialfunktion sein, da radioaktiver Zerfall immer exponentiell veräuft. Sie muss also die Form

N ( t ) = N ( 0 ) * a ^t

haben, wobei N ( 0 ) die Masse zum Zeitpunkt t = 0 ist, also die ursprünglich gegebene Masse.

Für die Berechnung des Zerfallsfaktor a habe ich  die angegebene Halbwertszeit ( 24400 Jahre) benutzt, für die ja gilt, dass nach dieser Zeit noch genau die Hälfte der ursprünglichen Masse übrig ist, dass also gilt:

N ( 24400) = N ( 0 ) * a ²⁴⁴⁰⁰ = ( 1 / 2 ) N ( 0 )

Die blau gesetzte Gleichung findest du in der ersten Zeile meiner Anwort, wobei linke und rechte Seite vertauscht sind.

Durch Äquivalenzumformungen habe ich daraus den Zerfallsfaktor a bestimmt und konnte damit die konkrete Zerfallsfunktion für Plutonium 239 aufstellen.

Nach dieser Vorarbeit ergeben sich die Lösungen der einzelnen Aufgabenteile im Wesentlichen durch durch "geschicktes" Anwenden dieser Zerfallsfunktion, etwa im Aufgabenteil a durch schlichtes Einsetzen der gegebenen Werte in diese Zerfallsfunktion.

 

Verstehst du gar keine von meinen Lösungen?

Oder verstehst du lediglich eine oder mehrere bestimmte Lösungen nicht? Welche?

 

Wenn du die Lösungen lieber mit e und ln haben möchtest dann musst du die erste Zeile meiner Antwort so schreiben:

( 1 / 2 ) * N ( 0 ) = N ( 0 ) * e ^{k * 24400}

und daraus den Faktor k bestimmen:

<=> 1 / 2 = e ^{k * 24400}

<=> ln ( 1 / 2 ) = k * 24400

<=> k = ln ( 1 / 2 ) / 24400

= ( ln ( 1 ) - ln ( 2 ) ) / 24400

= - ln ( 2 ) / 24400

≈ - 0,0000284

Die Zerfallsfunktion lautet dann also:

N ( t ) = N ( 0 ) * e ^{- ( ln ( 2 ) / 24400 ) * t}

= N ( 0 ) * e ^{- 0,0000284 * t}