Von einem Sektglas das Volumen berechnen

Question

Ein kegelförmiges Sektglas mit 100ml Sekt wird für 4€ verkauft. Ein Gast bestellt sich ein Glas , das nur bis zur halben Höhe gefüllt werden soll.

Aufgabe 1 : Wie viele Millimeter Sekt befindet sich in diesem Glas?

Aufgabe 2 : Was müsste das Glas kosten , wenn der Preis proportional zum Volumen des Sektes ist ?


Ich habe leider garkeine Idee wie ich an die Lösungen dieser Aufgaben kommen soll , deshalb wäre es sehr nett wenn ihr mir die Ergebnisse mit dem Lösungsweg aufschreiben könntet.


Danke schon einmal im Voraus ;=)

LG Gast

Answer 1

Ein kegelförmiges Sektglas mit 100ml Sekt wird für 4€ verkauft.
Ein Gast bestellt sich ein Glas , das nur bis zur halben Höhe
gefüllt werden soll.
Aufgabe 1 : Wie viele Millimeter Sekt befindet sich in diesem Glas?

Volumen eines Kegels
V = Grundfläche * Höhe / 3
Ich denke mir das Koordinatensystem mit einer Geraden
durch den Ursprung und positiver Steigung.
Der Rotationskörper entspricht dem horizontal gelegten
Sektglas.
f ( x ) = m * x
f ( x ) ist der Radius des Sektglas an der Stelle x.
A ( x )= r^2 * π
A ( x )= [ f (x) ]^2 * π
A ( x )= [ m * x ]^2 * π
Volumen = A ( x ) * Höhe / 3
V ( x ) = [ m * x ]^2 * π * x / 3
V ( x ) = m^2 * π * x^3 / 3
V in halber Höhe
V ( x/2 ) = m^2 * π * (x/2)^3 / 3
Vergleicht man beide Volumina kann zunächst gekürzt werden
da m,  π, /3 in beiden Formeln vorkommen.
Es bleibt
x^3 zu x^3 / 8
Das halbvolle Glas hat nur 1/8 des Volumens des
vollen Glases, also 12.5 ml:
Aufgabe 2 : Was müsste das Glas kosten , wenn der Preis
proportional zum Volumen des Sektes ist ?
Preis auch nur 1/8 : 50 Cent

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Die Antwort war vielleicht doch zu langatmig oder umständlich.
Deshalb hier eine kürzere Variante

V = Grundfläche * Höhe / 3
h = Höhe
r = Radius des Sektglases an der Stelle h
V = r^2 * π * h / 3
An der Stelle h/2 ist der Radius auch nur r/2.
( Lineare Funktion )
V ( in halber Höhe ) = (r/2)^2 * π * ( h / 2) / 3
V ( in halber Höhe ) = r^2 / 4 * π * ( h / 2 ) / 3
Bei V / V ( halbe Höhe ) können r, h, π, / 3 weggekürzt werden.
Übrig bleibt das Verhältnis 1 zu  1 / 8.

mfg Georg

Answer 2

a)

Sei V_v das Volumen des vollen Glases und V_hdas Volumen des halbvollen Glases.
Sei außerdem H die Höhe des vollen Glases und R der Radius des Flüssigkeitsspiegels des vollen Glases sowie h die Höhe des halbvollen Glases und r der Radius des Flüssigkeitsspiegels des halbvollen Glases.

Dann gilt:

r = R / 2

und

h = H / 2

und damit für die Volumina mit der Formel für das Volumen eines Kegels:

V_v = ( 1 / 3 ) π R² H

und

V_h = ( 1 / 3 ) π r² h  = ( 1 / 3 ) π ( R / 2 ) ² ( H / 2 )

Für das Verhältnis der Volumina des halbvollen und des vollen Glases gilt somit:

V_h / V_v = [ ( 1 / 3 ) π ( R / 2 ) ² ( H / 2 ) ] / [ ( 1 / 3 ) π R ² H ]

= [ ( 1 / 24 ) π R ² H ] / [ ( 1 / 3 ) π R ² H ]

mit π R ² H kürzen:

= [ 1 / 24 ] / [ 1 / 3 ] 

= 1 / 8

Also:

V_h = ( 1 / 8 ) V_v

mit V_v = 100 ml ergibt sich daraus:

V_h = ( 1 / 8 ) * 100 = 12,5 ml

Das halbvolle Glas enthält also 12,5 ml, das sind 1 / 8 des Volumens des vollen Glases.

 

b)

Sei P_v der Preis des vollen Glases und P_h der Preis des halbvollen Glases.

Wenn der Preis proportional zum Volumen ist, dann gilt:

P_h / P_v = V_h / V_v

P_h = P_v V_h / V_v = 4 * ( 1 / 8 ) = 0,5

Der Preis für das halbvolle Glas beträgt also 0,5 Euro.