Geometrische Reihe: Wie kommt man auf die -3?

Question

Ich mache gerade geometrische Reihen. Ich möchte den Grenzwerrt ausrechnene, was ich auch eigentlich kann. Aber hier komme ich nicht weiter:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\pi^{n}}=3 \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{\pi}\right)^{n}-3 \)

Woher kommt die -3 am Ende? Den Rest weiß ich.

Und wieso steht die 3 jetzt vor dem Sigma? und woher kommt die 1?

Answer 1

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{\pi^n}=\frac{3}{\pi}+\frac{3}{\pi^2}+\frac{3}{\pi^3}+\ldots+\frac{3}{\pi^k}+\ldots $$

Die zweite Summe hat einen Summanden mehr. Damit beide Summen gleich sind muss dieser wieder abgezogen werden.$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{3}{\pi^n}=\overbrace{\frac{3}{\pi^0}}^{=3}+\frac{3}{\pi}+\frac{3}{\pi^2}+\frac{3}{\pi^3}+\ldots+\frac{3}{\pi^k}+\ldots $$

Es handelt sich um eine geometrische Reihe.

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{\pi^n}=\frac{3}{\pi-1}$$

Comments

Danke Sigma.

Vielleicht ist das jetzt eine blöde Frage, aber es muss sein. Ich verstehe nicht wo hier ein Summand mehr sein soll? Es geht doch gegen Unendlich?

Oder meinst Du das wegen dem n=0? ja oder?? Bitte sag ja

---

Das macht schon einen Unterschied. Nur mal angenommen ich zahle dir und deinen Nachkommen immer am Jahresende 1 Cent und das unendlich lange.  Oder ich zahle dir 1 Mio Euro sofort(n=0) und dann 1 Cent immer am Jahresende und das unendlich lang.

Und die 3 kannst du vor die Summe ziehen, da sie ein konstanter Faktor ist.