Wie löse ich eine kubische Regression?

Question

In einem Betrieb wurden folgende Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge festgestellt:

x (Mengeneinheit)	80	100	110	120	125
K(x)  (Geldeinheit)	19.120	20.000	20.560	21.280	21.720

Ermitteln Sie aus den oben angegebenen Werten die Gleichung der Gesamtkostenfunktion dritten Grades mittels kubischer Regression und geben Sie die Koeffizienten auf drei Dezimalstellen gerundet an.

Kann mir vielleicht bitte jemand weiterhelfen, wie ich diese kubische Regression erstelle?

 

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Answer 1

Also normalerweise ist es üblich, dass dafür ein CAS Taschenrechner benutzt werden darf. Oder solltet ihr das wirklich von Hand rechnen?

Ich habe zur Lösung mal Wolfram-Alpha benutzt

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cubic+fit+%7B80%2C19.12%7D%2C%7B100%2C20%7D%2C%7B110%2C20.56%7D%2C%7B120%2C21.28%7D%2C%7B125%2C21.72%7D

Die Lösung lautet dann:

f(x) = 0.0000101424x^3 - 0.00254266x^2 + 0.25421x + 9.86328

Wenn wir den Dezimalpunkt oben mal als Tausendertrennung betrachtet dann ergibt sich

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cubic+fit+%7B80%2C19120%7D%2C%7B100%2C20000%7D%2C%7B110%2C20560%7D%2C%7B120%2C21280%7D%2C%7B125%2C21720%7D

f(x) = 0.0101424x^3 - 2.54266x^2 + 254.21x + 9863.28

Answer 2

Die Regressions-Gleichung ydach = a0 +a1*x +a2*x^2 +a3*x^3 ergibt sich aus dem Gleichungssystem

E(y) = a0 +a1*E(x) +a2*E(x^2) +a3*E(x^3)

E(x * y) = a0*E(x) +a1*E(x^2) +a2*E(x^3) +a3*E(x^4)

E(x^2 * y) = a0*E(x^2) +a1*E(x^3) +a2*E(x^4) +a3*E(x^5)

E(x^3 * y) = a0*E(x^3) +a1*E(x^4) +a2*E(x^5) +a3*E(x^6)

Die Werte E(z) sind die Erwartungswerte, also die arithmetischen Mittelwerte von z,

z.B. E(y) = 1/n ∑ yi = 1/5 * (y1 +y2 +y3 +y4 +y5)

Das Gleichungssystem laesst sich z.B. mit der Cramerschen Regel loesen:

a0 = Det A1 / Det A

a1 = Det A2 / Det A

a2 = Det A3 / Det A

a3 = Det A4 / Det A

Det ist die Determinante der Matrix A, die sich aus der Rechten Seite der Gleichungen ergibt und die allesamt ausschliesslich Erwartungswerte umfasst sowie in Zelle 1, 1 die 1.

b = A * (a0 a1 a2 a3)

Det Ai ist die Determinante der Matrix, die sich nach Ersetzen der Spalte i in der Matrix A durch die Linke Seite der Gleichungen (Vektor b) ergibt.