Question

Was spricht für das Vorzeichenkriterium und gegen die 2. Abeitung?
Wann kann nur das Vorzeichenkriterium weiterhelfen?

Answer 1

Hi picknockyou

nehmen wir mal als Beispiel f(x) = x^6.

Hier hilft Dir die zweite Ableitung nicht weiter um das Minimum bei x = 0 zu finden, denn

f'(x) = 6x^5

f''(x) = 30x^4

f'(0) = 0 und f''(x) = 0

Die hinreichende Bedingung wäre also nicht erfüllt. Das Vorzeichenkriterium hingegen funktioniert (probier es selbst ;)).

Also für höhere Polynome mag das Vorzeichenkriterium sehr hilfreich sein (man kommt auch weiterhin ohne VZW aus, aber das wird in der Schule meist nicht gelehrt: https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Hinreichende_Kriterien)


Grüße

Comments

Hmm, das verstehe ich nicht ganz.
f(x) = x^6
f'(x) = 6x^5
f'(0) = 0
x=0
f(0) = 0^6 = 0
Extrempunkt bei P(0|0)
Okay, zur Überprüfung kann man jetzt nicht mit f''(x) = 30x^4 sehen ob Minimum oder Maximum, das ist aber wohl ganz klar anhand der Steigung von f(x) = x^6 zu sehen, dass die "Parabel" nach oben geöffnet ist, also Tiefpunkt.

Kannst du das mal bitte mit dem Vorzeichenkriterium zeigen?

 

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Haha, ja das war ein einfachs Beispiel. Nehmen wir aber x^4(x^2-1) ist das schon nicht mehr sooo einfach ;).

 

f(x) = x^6

f'(x) = 6x^5

--> Aus der notwendigen Bedingungen ergibt sich f'(x) = 0, also x = 0.

Untersuchen mit dem VZW-Kriterium.

Das bedeutet nun, dass wir das Vorzeichen links von der Stelle 0 der ersten Ableitung anschauen und rechts davon.

Man sieht sofort, wegen ungerader Potenz, dass links von x = 0 die erste Ableitung negativ ist. Rechts davon positiv.

Das heißt wir haben einen Wechsel von negativ zu positiv:

ein lokales Minimum liegt vor, wenn das Vorzeichen von minus nach plus wechselt.

 

Einverstanden?! ;)

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1) Vielen Dank und wie schreibt man das "mathematisch"?

2) Mit dem Vorzeichenkriterium tue ich mich noch schwer.

Zum Beispiel verstehe ich die Notwendigkeit der Herleitung der Linearfaktorenform der 1. Ableitung nicht und die Notwendigkeit der darausfolgendenen 2. und 3. Zeile der Tabelle nicht, das irritiert mich:

http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_01_08.htm#abs2

Das würde doch so reichen:

Denn wenn ich einfach in f'(x) die von den 3 Spalten vorgegebeneen x-Werte einsetze, sehe ich doch was für ein Vorzeichen herauskommt, dazu muss ich doch nicht noch in die Linearfaktoren einsetzen.

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So wie ich das geschrieben habe (also mehr Worte als "mathematisch") sollte das völlig in Ordnung gehen. Notationstechnisch schöner wäre eventuell noch mit dem Limes zu arbeiten. Die gezeigte Tabelle ist ebenfalls eine gute Methode aufzuschreiben.


Das in Linearfaktoren zu zerlegen ist keine Pflicht, würde ich sagen, erleichtert Dir jedoch das bestimmen der letzten Zeile. Du musst nur abzählen. Wenn alle Zeilen über der letzten Zeile eine ungerade Anzahl an negativen Vorzeichen haben, so ist die letzte Zeile negativ. Liegt eine gerade Anzahl an negativen Vorzeichen vor, so ists positiv.

Wie gesagt, eine Pflicht mit den von Dir geweißten Zeilen besteht nicht. Wäre bei unserem Beispiel wahrscheinlich auch unnötig. Bei dem Beispiel von brinkmann aber auf jedenfall empfehlenswert, da es die Sache erleichtert ;).

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Vielen Dank erstmal für die Erläuterung. Gut zu wissen.

 

Aber beim Formulieren muss ich nochmal nachhaken:

Angenommen die Aufgabe würde lauten:

1) Bestimmen die Extrema von  f(x)=x^6

2) Weise nach/Zeige das f(x)=x^6 einen Tiefpunkt aufweist.

Also das jetzt nicht mit der Begründung mit "Parabel nach oben geöffnet" etc. wie ich sie gebracht habe.

1)

a) f(x) = x⁶

f'(x) = 6x⁵

b) Notwendige Bedingung: f'(0) = 0

c) setze f'(x) = y = 0

 0 = 6x⁵

x = 0

d) f(0) = 0⁶ = 0
Extrempunkt bei P(0|0)

2) 

f'(-1) = 6(-1)^5 = -6 < 0 

f'(1) = 6(1)^5 = 6 > 0

Wie schreibt man das jetzt weiter. Kann man das mit der Monotonie beschreiben?

Irgendwie ist das mit Worten nicht zufriedenstellend. ^^

 

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Rechne einfach aus:

Die 3 Fälle hast du ja.

1. Fall x<1

 f ' (0) = 3*0^2 - 12*0 + 9 = 9 >0.

2. Fall 1<x<3

f ' (2) = 3*2^2 - 12*2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0

3. Fall x> 3

f ' (4) = 3*4^2 - 12*4 + 9 = 3*16 - 48 + 9 = 9 > 0 

==> 

bei x=1 Vorzeichenwechsel von + zu -. Also rel.  Max.

etc.

Ich bevorzuge allerdings Antworten, die auch ein paar Worte enthalten. Mit Rechnungen allein kannst du weniger gut zeigen, ob du verstehst, was du überhaupt untersuchst.

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Bis zur c bin ich einverstanden, dann aber passt es nicht mehr.

Bei d) weißt Du doch noch gar nicht, ob ein Extrempunkt vorliegt oder nicht. Du musst das erst mit VZW (oder anderweitig) zeigen. Das was Du da mit 2) angegeben hast, geht dabei in die richtige Richtung. Mir persönlich gefällt das aber nicht, da das viel zu weit weg sein könnte. Da könnten ewig viele Minima/Maxima zwischen drin sein^^.

 

Mein Vorschlag für d) (also notw. Bedingung sei bereits gezeigt):

1. Vorschlag:

Tabelle

	x<0	x>0
f'(x)	-	+

Wir haben einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus -> Minimum.

Das wars hierfür eigentlich schon. Nur noch den Extrempunkt angeben: T(0|f(0)) -> T(0|0)

2. Vorschlag

lim_x->0-f'(x) ≤ 0

lim_x->0+f'(x) ≥ 0

Das ist im Prinzip genau das was in der Tabelle steht, nur "mathematischer" aufgeschrieben.

 

Das mit der Tabelle finde ich aber eigentlich gar net mal so schlecht. Beachte, dass die Tabelle bei mir nur einzeilig ist, da es besonders einfach ist die Vorzeichen zu bestimmen. Sonst gehe vor wie in den Bildern, die Du gezeigt hast ;).

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Vielen Dank ihr beiden.

Ihr habt mit geholfen.

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"2. Vorschlag

lim_x->0-f'(x) ≤ 0

lim_x->0+f'(x) ≥ 0

Das ist im Prinzip genau das was in der Tabelle steht, nur "mathematischer" aufgeschrieben."

Doch, das ist etwas anderes. In der Tabelle steht, dass \(f'(x)<0\) für \(x<0\) und \(f'(x)>0\) für \(x>0\) ist.

Dein "2. Vorschlag" hat damit überhaupt nichts zu tun. Es ist nämlich \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0}f'(x)=0\). D.h. es gilt z.B. auch \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)\geq 0, \lim_{x\to 0^-}f'(x)\geq 0\) oder \(\lim_{x\to 0^+}f'(x)\leq 0, \lim_{x\to 0^-}f'(x)\leq 0\). Über das Vorzeichen der Funktionswerte sagt das aber gar nichts aus.