Konvergenz von Reihe von 0 bis unendlich X^n/n!

Question

ich gehe gerade das Skript durch und lese das man die Konvergenz der Reihe der Exponentialfunktion mit Hilfe des Quotientenkriteriums nachweisen kann.

Berechne ich jedoch den Quotienten aus komme ich am Ende auf x/(n+1).

So ich kann zwar argumentieren, dass ab einem bestimmten n der Nenner größer ist als der Zähler und somit der Quotient kleiner 1. Aber laut Definition darf das Endergebnis nicht von n abhängen.

Wie also kann ich die konvergenz mit dem Quotientenkriterium beweisen?

Danke

Answer 1

doch das darf es. Gilt das Kriterium z.B. nur für alle  n  mit  n > N  für ein festes n ∈ ℕ, kann man die Reihe aufspalten in

Hier ist die erste Summe endlich und das Quotientenkriterium bei der zweiten Reihe für alle  n  erfüllt.

Comments

Danke,

kann ich also  schreiben wenn ich am Ende bei x/n+1 bin. konvergiert nach Quotientenkriterium für n>N=x ? weil dann würde ja der Zähler immer kleiner sein als der Nenner oder wie hast du das gemeint ?

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N = x  zu wählen genügt noch nicht ganz. Dann hätte man zwar  x/(n + 1) < n/(n +1) < 1, aber es gibt wegen  lim_n→∞ n/(n+1) = 1  kein  q ∈ ℝ  mit  n/(n + 1) < q < 1  für alle  n. Wähle daher besser  N = 2x. Dann ist  x/(n + 1) < n/(2n + 1) < 1/2 < 1  für alle  n > N.

Answer 2

Das ist ja die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion f(x) = e^x.

Vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

Dort dem Link zum Quotientenkriterium folgen.

Vorgerechnet ist dort, was mit der Reihe der Kehrwert im Fall x=2 passiert. Dort kommt n durchaus im Endergebnis vor.

in deinem Fall geht x/(n+1) gegen 0, wenn n wächst. x ist ja in der ganzen Summe immer gleich gross.

Für jedes gegebene x gilt: x/(n+1) < x/n < 1 sobald n> x ist. mE genügt das.