Unbestimmtes Integral berechnen: ∫ (6x^2) / (1-4x^3)^3 dx

Question

ich benötige Hilfe bei folgendem Integral

Wie löse ich dies schritt für schritt?

Danke

∫ (6x^2) / (1-4x^3)^3 dx

Comments

Wie ist das Gradzeichen ° zu verstehen / lesen?

Edit: 'hoch' draus gemacht.

∫ (6x^2) / (1-4x^3)^3 dx

Substituiere:

u = 1-4x^3

du/dx = -12x^2

du/(-12x^2) = dx

Hoffe, du kommst jetzt selbst weiter.

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sorry, schreibfehler

∫ (6x^2) / (1-4x^3)^3

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leoder nicht kannst du das bis zum schluss noch genauer aufschreiben?

Answer 1

∫ (6x²) / (1-4x³)³ dx

Substituiere:

u = 1-4x³

du/dx = -12x²

du/(-12x²) = dx

∫ (6x²) / (1-4x³)³ dx = ∫ (6x²) / u^3  (du/(-12x^2))              |Darstellung nicht ganz sauber, weil u und x gemischt.
                                                                                           |Aber die x-en kürzen sich ja gleich weg.

= -1/2 ∫ 1 / u³ du

=  -1/2 ∫  u^-3 du

= -1/2  *(-1/2)    u^{-2} + C

= 1/(4u^2)    + C            |Rücksubstituition

= 1/(4(1-4x^3) ^2)  + C   oder auch

= 1/(2(1-4x^3))^2 + C

Kontrolle damit ist ok: https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫+%286x%5E2%29+%2F+%281-4x%5E3%29%5E3+dx+

Comments

ich glaub ich weiß was mein problem ist ich weiß nicht , wie ich auf die - 1/2 komme

 

wie komme ich von diesem Schritt:

∫ (6x^2) / u3  (du/(-12x^2))    

 

zu diesem?

= -1/2 ∫ 1 / u3 du

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6/(-12)=-1/2

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= -1/2 ∫ 1 / u^3 du

=  -1/2 ∫  u^-3 du  muss u^-3 integriert nicht 1/4^-4 sein???

= -1/2  *(-1/2)    u^-2 + C   warum *(-1/2)?

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$$ \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad, x\neq-1 $$$$-\frac{1}{2}\int u^{-3}du=-\frac{1}{2} \frac{u^{-3+1}}{-3+1}=\ldots$$

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sigma:

gast: 

wie komme ich von diesem Schritt:

∫ (6x²) / u3  (du/(-12x²))    

zu diesem?

= -1/2 ∫ 1 / u^3 du

Ich habe da kürzen  daneben geschrieben (Es ist ja Bruch * Bruch).

∫ (6x²) / u3  (du/(-12x²))    

                         |Vielleicht bringe ich mal alles auf einen Bruchstrich:

 

= ∫ (6x² du) / (u^3*(-12x²))               kürze 6x^2

  = ∫ du / (u^3 (-2))          und jetzt vernünftig sortieren.  

= -1/2 ∫ 1 / u^3 du

Bei den Brüchen von sigma siehst du hoffentlich besser, wie du da kürzen kannst.

Answer 2

$$ \int \frac{6x^2}{(1-4x^3)^3}dx $$Substitution: \(z=1-4x^3\) und \(dz=-12x^2dx \Rightarrow dx=-\frac{dz}{12x^2}\)$$-\int \frac{6x^2}{z^3}\frac{dz}{12x^2}=-\int \frac{1}{2z^3}dz=-\int \frac{1}{2}z^{-3}dz=\frac{1}{4z^2}+C$$Rücksubstitution: \(z=1-4x^3\)$$ \int \frac{6x^2}{(1-4x^3)^3}dx=\frac{1}{4(1-4x^3)^2}+C $$