Proportionalität aus Summen?

Question

Hallo werte Sonntagsmathematiker :)

ich habe folgende mathematische Gleichung:


a = b / (b+1)


kann man behaupten, dass sich a proportional zu b verhält?

Also: a ~ b
oder wäre das mathematisch nicht ganz korrekt, da wir hier eine Summe mit drin haben?


Umgestellt könnte man ja auch sagen:

1/a = 1 + 1/b


ich freue mich über eure Antworten :)

Beste Grüße

Jan

Comments

Hi, die zu dieser Relation gehörenden Zahlenpaare sind weder quotientengleich noch produktgleich. Es liegt daher weder Proportionalität noch umgkehrte Proportionalität vor.

Answer 1

Eine Zuordnung der Werte zweier Größen A und B heißt proportional, wenn es eine Konstante K gibt, sodass für alle einander zugordneten Werte a der Größe A und b der Größe B gilt:

a / b = K 

Betrachtet man nun

a = b / (b+1)

<=> a / b = 1 / ( b + 1 )

so stellt man fest, dass  K = 1 / ( b + 1 ) keine Konstante, sondern von b abhängig ist. 

Somit beschreibt a = b / ( b + 1 ) keine proportionale Zuordnung von a und b.

 

Eine Zuordnung der Werte zweier Größen A und B heißt umgekehrt proportional (auch: antiproportional), wenn es eine Konstante K gibt, sodass für alle einander zugordneten Werte a der Größe A und b der Größe B gilt:

a * b = K

Betrachtet man nun

a = b / (b+1)

<=> a * b = b ² / ( b + 1 ) 

so stellt man fest, dass K = b ² / ( b + 1 ) keine Konstante, sondern von b abhängig ist. 

Somit beschreibt a = b / (b+1) keine umgekehrt proportionale Zuordnung von a und b.

 

a = b / (b+1) beschreibt also weder eine proportionale noch eine umgekehrt proportionale Zuordnung.

Comments

Hui, verdammt gute Erklärung!

DANKE SEHR! :)

Answer 2

Hallo Jan,

a = b / (b+1)  könnte man durch Polynomdivision umformen zu

a = 1  -   1 / ( b + 1 )

Damit müßte schon klar sein das umgekehrte Proportionalität
vorliegt.

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

danke für deine Antwort!
Allerdings kann eine umgekehrte Proportionalität doch gar nicht vorliegen,

wenn ich für b einen größeren Wert einsetze, erhalte ich auch für a einen größeren Wert:

a (b=1) = 0,5
a (b=2) = 0,67
a (b=3) = 0,75

irgendwie scheint der Wert für a entweder unter- bzw. überproportional mitzuwachsen.

BG Jan

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siehe auch den anderen Kommentar.

Ich habe im Internet recherchiert und herausgefunden

Propotionalität
( Quotengleich )
a / b = const
a = const * b
( bekannter y = m * x )
( Gerade durch durch Nullpunkt )

Linearität
a = const * b + c
( bekannter y = m * x + b )
( Gerade mit y-Achsenabschnitt )

umgekehrte Propotionalität
( Produktgleich )
a * b = const
a = const / b

Deine Fall muß ich noch herausfinden.

Proportionalität bedeutet allerdings nicht
Je größer x desto größer y:
Falls m negativ ist ergibt sich
Je größer x desto kleiner y

Bei umgekehrter Proportionalität
dasselbe

const = 4
b = 1 : a = 4
b = 2 : a = 2
b = 4 : a = 1
Je größer b desto kleiner a

const = - 4
b = 1 : a = -4
b = 2 : a = -2
b = 4 : a = -1
Je größer b desto größer a

Soviel zunächst.

mfg Georg

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Deine Funktion ist auch eine Hyperbelfunktion wie
z.B. y = -1/x und ähnelt dieser im Graphen.

 

mfg Georg

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Hallo Georg,

Danke für deine ausführliche Recherche!!
Mir erschließt sich allmählich die wahre Bedeutung von Proportionalitäten. :)

Allerdings bin ich nun auch neugierig, ob es für diesen Zusammenhang eine passende Formulierung gibt.
Da sich in meinem Fall für die Gleichung a = b / (b+1) in der praktischen Anwendung nur der Bereich von 0 bis ∞ ergibt, vereinfacht das evt die Wortwahl mit der ich gern die Abhängigkeit von a und b in Worten beschreiben möchte...


Edit: GENAU! Die Kurve habe ich mir auch gerade mal Plotten lassen... und interessant für die Praxis (Physik) wäre hier nur der 1. Quadrant...
Was ist das für eine Form von "Wachstum" frage ich mich :D

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f ( x )  = 1  -   1 / ( x + 1 )
f ´( x ) = 1 / ( x + 1)^2

Der Graph ähnelt etwas der ln Funktion
g ( x ) = ln ( x )
g ´ ( x ) = 1 / x

Noch besser müßte sein
h ( x ) = ln ( x + 1 )
h ´ ( x ) = 1 / ( x + 1 )

h´( x ) = √ f´( x )

Soweit meine Spekulationen.

mfg Georg