geometrisches Wachstum!

Question

Die Mülldeponie einer Gemeinde hat ein Fassungsvermögen von 275000m3. Zum gegenwärtigen
Zeitpunkt hat die Gemeinde 3100 Einwohner, von denen jeder 4m3 Müll pro Jahr
deponiert. Die Einwohnerzahl steigt um 8 Prozent pro Jahr. Die Berechnungen des Umweltgemeinderates
ergeben, dass unter diesen Voraussetzungen die Deponie nach etwa
13 Jahren geschlossen werden müsste. Wenn es allerdings gelänge, die Müllproduktion
pro Einwohner um 3 Prozent zu drosseln, wie hoch wäre dann der nach 13 Jahren noch
verfügbare Deponieraum?
(a) 16454.57
(b) 20918.06
(c) 18735.57
(d) 19450.08
(e) 11499.40


bitte um hilfe!?  danke

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass es sich bei dem angegebenen Fassungsvermögen von 275000 m³ um das aktuell noch verfügbare Fassungsvermögen handelt.

Nach t Jahren beträgt die Einwohnerzahl:

$$E(t)=3100*{ 1,08 }^{ t }$$

Wenn jeder dieser Einwohner ab sofort jährlich statt 4 m ³ Müll nur noch 3 % weniger, also nur noch

$$4 * 0,97 = 3,88$$

m³ Müll deponiert, dann sind dies nach 13 Jahren:

$$3,88*\sum _{ t=0 }^{ 12 }{ E(t) }$$$$=3,88*\sum _{ t=0 }^{ 12 }{ 3100*{ 1 },08^{ t } }$$$$=3,88*3100*\frac { { 1,08 }^{ 13 }-1 }{ 1,08-1 }$$$$\approx 258545,43$$

m ³ Müll, sodass dann also noch etwa

$$275000 - 258545,43 = 16454.57$$

m³ Deponieraum verfügbar wäre.

Also ist a) die richtige Antwort.