Bestimmte Integrale einer streng monotonen Funktion f: Beh: ∫ f(x) dx + ∫f^{-1}(y) dy = bd

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0, b] \rightarrow[0, d] \) eine stetig differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion mit \( f(0)=0 \) und \( f(b)=d \).

Zeigen Sie, dass

\( \int \limits_{0}^{b} f(x) d x+\int \limits_{0}^{d} f^{-1}(y) d y=b d . \)

Answer 1

Das ist doch eine sehr schöne Aufgabe.

Die Lösung steht doch schon dort. Du sollst ja nur zeigen das sie stimmt.

Zeichne dir mal eine streng monoton wachsende Funktion die durch den Ursprung und den Punkt P(b, d) geht in ein Koordinatensystem.

Was berechnest du mit

∫ (0 bis b) f(x) dx

Zeichne dir in das Koordinatensystem ein was du damit berechnest. Und was berechnest du mit
∫ (0 bis d) f^{-1}(y) dy

Zeichne dir auch das in das Koordinatensystem ein.

Und jetzt schaust du auf die rechte Seite der Gleichung und überlegst was ich dir wohl sagen möchte.

Comments

der punkt ist egal, wo der liegt?

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und wie zeichnet man bitte integrale?

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Ja. Es ist dabei völlig egal wo der Punkt liegt.

Was berechnet man denn mit einem Integral in Bezug auf eine Funktion?

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Mit dem unbestimmten Integral berechnet man die Stammfunktion und mit dem bestimmten Integral ? In der Aufgabe geht es um ein bestimmtes Integral.

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@Mathecoach: Darf ich Gast einen Tipp geben?

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Eigentlich hoffe ich ja das Gast es selber weiß, wenn er nachdenkt.

Kannst Du die Aufgabe lösen Emre?

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Ahso:)

ehm also jetzt so direkt nicht, aber wenn Du mir ein paar Tipps geben könntest, könnte ich es mal versuchen :-)

Und man soll doch hier nichts berechnen, sondern nur zeigen/beweisen?

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Dann versuche dich doch mal an der Aufgabe, auch wenn es jetzt nicht mit Vektoren zu tun hat. Schreibe das ruhig als eigene Antwort. Ich helfe dann und korrigiere.

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Ah hab schon einige Ideen..ist es schlimm, wenn es etwas dauert, weil ich etwas zeichen will (dein Tipp :-))

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Nein zeichne ruhig. Du kannst dir ja auch eine reale Funktion ausdenken, die die Bedingungen erfüllt.

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Ahso ok :)

ich hab mir die Funktion f(x)=x³ ausgesucht, weil sie ja streng monoton wachsend ist :)

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Ja das ist prima. Ums besser zu zeichnen hättest du eventuell 1/4*x^3 nehmen können. Aber das musst du nicht. Könntest auch die Achsen anders skalieren.

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neinn also meine überlegung ist denke ich falsch... ich kann das auch nicht ganz erklären.....also ich weiß nicht wie ich das erklären soll :/

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Wo haperts denn bei den obigen Tipps?

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Eigentlich weiß ich was Du damit sagen willst. Beim ersten Tipp mit

"Was berechnest du mit

∫ (0 bis b) f(x) dx" Also damit berechnet man ja den Flächeninhalt im Intervall von [0|b] (b sei einfach ein belibieger Punkt auf der x-Achse)

Und

"Zeichne dir in das Koordinatensystem ein was du damit berechnest. Und was berechnest du mit
∫ (0 bis d) f^-1(y) dy"

f ^-1(y)dy ist ja die Umkehrfunktion von f(x) und wenn ich das zeichne , dann berechne ich ja den Flächeninhalt im Intrvall von [0|d] (d sei wieder ein belibieger Punkt auf der x-Achse), aber man berechnet es halt nur von der Umkehrfunktion und wenn man halt dann dies addiert dann ist das das gleich wie bd also sagen wir f(x) war 2 und f ^-1(y) war 3 dann ist ja 2+3= 5 und das ist das selbe würde ich sagen

 

ich weiß nicht wie ich das erklären soll

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Ja. Soweit bist du aber schon gut. 

Also male ein Koordinatensystem, zeichne deine Funktion und den beliebigen Punkt P(b, d).

Nun zeichnest du die Fläche ein die du im Intervall 0 bis b berechnest.

 

Ok. Jetzt nimmst du ein anderes Koordinatensystem und zeichnest da hinein die Umkehrfunktion und den Punkt P(d, b).

Dahinein zeichnest du die Fläche, die du mit dem Integral im Intervall von 0 bis d berechnest.

Nun schaust du Deine beiden Koordinatensysteme an. Und schaust mal was du jetzt für Flächen hast und ob die sich eventuell ergänzen.

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hmm ja ..bin schon froh, dass ich wenigstens so weit kam :) ^^

ehm kann man da statt b und d einfach zahlen schreiben? Weil so komme ich durcheinander Oo

zb für b 2 und d 4 ?

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Ja klar. Allerdings wenn du die Funktion x^3 hast dann sollte b = 2 und d = 8 sein. Sonst liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

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Ahso ok Danke :-)

bis gleich dann :)

(könnte evt. bisschen dauern, weil ich noch was machen muss, aber auf jeden Fall noch heute :-)

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Entschuldige war über das wochenende vereist.

Die funktion für die integrale:

(b^2 * f)/2

b^2/2f

und das hilft mir was?