Gesucht sind die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktionsschar: f(x) = x*t/3 - (t+2)/(3x)

Question

Wie bestimmt man für welche Werte von t eine Funktionsschar wie viele Nullstellen hat?

Am besten an dieser Beispielaufgabe:

\( f(x)=\frac{t}{3} · x-\frac{t+2}{3 · x} \)

Answer 1

x*t/3 - (t+2)/(3x) = 0.        |* Hauptnenner 3x

x^2 * t    - (t+ 2) = 0                |  -(t+2)

x^2 * t = (t + 2)        

Falls t ≠ 0

x^2 = (t+2)/t               

x_1,2 = ±√((t+2)/t))            

Falls t≠2 und (t + 2)/ t > 0:  genau 2 Lösungen

(t+2) / t > 0 

heisst

t+2 und t grösser 0. also: t > 0 oder 

t+2 und t kleiner 0. also t<-2

Also genau 2 Lösungen, falls t<-2 oder t>2.

Falls t=-2: genau eine Lösung.

Falls -2<t<0: keine Lösung.

 

Zudem: Falls t = 0: 

x^2 * t = (t + 2)   einsetzen:  0 = 2: geht nicht! Also keine Lösung.

 

Setze für t ein paar Zahlen ein und prüfe so dieses Ergebnis mit einem Funktionsplotter!