Kann mir jemand die Ableitungsregeln: Produktregel, Kettenregel und Quotientenregel anhand eines Beispiels erklären?

Question

Ich habe leider keine Beispielaufgaben, deswegen kann ich das einfach nicht :(

Answer 1

Beginne mit der Theorie hier:

https://www.mathelounge.de/49661/produktregel-kettenregel-quotientenregel

und folge dann den Links hinter deinen Tags oder in der Rubrik 'ähnliche Fragen'.

Du findest so aber vor allem Beispiele, bei denen jemand Schwierigkeiten hatte.

Beispiel:

f(x) : = (x^5 - 3x)^2           
kannst du sowohl mit der Produktregel als auch mit der Kettenregel ableiten. Ausserdem zur Kontrolle ohne eine dieser Regeln.

g(x): = tan (x) kannst du mit der Quotientenregel ableiten. Die Antwort lässt sich im Formelbuch überprüfen.

f(x) : = (x⁵ - 3x)²           
Produktregel 

f(x) : = (x⁵ - 3x)*(x⁵ - 3x) ist ein Produkt

f ' (x) = (5x^4 - 3)*(x^5 - 3x) + (x^5 - 3x)*(5x^4 - 3)  

       = 2((5x^4 - 3)*(x^5 - 3x)) 

       = 2( 5x^9 - 3x^5 - 15x^5 + 9x) 

      = 10 x^9 - 36x^5 + 18x

Kettenregel 

f(x) : = (x⁵ - 3x)²

f '(x) = 2(x^5 - 3x) * (5x^4 - 3) = ... = 10 x^9 - 36x^5 + 18x

Ausserdem zur Kontrolle ohne eine dieser Regeln.

f(x) : = (x⁵ - 3x)²         |binomische Formel

= x^10 - 6x^6 + 9x^2      

f ' (x) = 10 x^9 - 36 x^5 + 18x 

g(x): = tan (x) = sin(x) / cos (x)

Nun mit der Quotientenregel ableiten.

Resultatkontrolle: Formelbuch

Answer 2

Produktregel

f(x) = u(x) * v(x)
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
f(x) = x^2 * x^3
f'(x) = 2x * x^3 + x^2 * 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4

Jetzt ohne Produktregel

f(x) = x^2 * x^3 = x^5
f'(x) = 5x^4

Man sieht es kommt tatsächlich beides mal das gleiche heraus.

Comments

Quotientenregel

f(x) = u(x) / v(x)
f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2

f(x) = x^3 / x
f'(x) = (3x^2 * x - x^3 * 1) / x^2 = 2x^3 / x^2 = 2x

Jetzt ohne Quotientenregel

f(x) = x^3 / x = x^2
f'(x) = 2x

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Kettenregel

f(x) = u(v(x))
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)

f(x) = (x^2)^3
f'(x) = 3*(x^2)^2 * 2x = 3x^4 * 2x = 6x^5

Jetzt ohne Kettenregel

f(x) = (x^2)^3 = x^6
f'(x) = 6x^5

Das waren jetzt alles ganz ganz leichte Beispiele die man zur Kontrolle auch anders rechnen kann. Normalerweise werden die Sachen nicht über die Ableitungsregeln gerechnet sondern direkt über die Potenzregel. Sie dienen hier nur als Muster.