Parabeln: f(x):=2x^2 - 8x + 5, r(x):=-2x^2 + 8x-11. Schnittpunkt? Verbindungsgerade?

Question

Diese Aufgabe ist Teil einer alten Techniker Prüfung:

Gegeben:

\( g(x)=2 x^{2}-8 x+5 \)
\( \mathrm{r}(\mathrm{x})=-2 x^{2}+8 x-11 \)

a) Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Funktionen!

b) Bilden Sie die Gerade, welche durch die 2 Schnittpunkte geht! 3.3 Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden an in der Form \( g(x)=m x+b \).

Comments

Bei 2. und 3. musst du in einer Prüfung hinschreiben, dass die Frage so falsch gestellt ist, da es bei solchen Prüfungen in der Regel nicht möglich ist, während der Prüfung die Aufgabe abzuändern. 

Wenn du zu viel Zeit hast und 2. und 3. lösen willst (erwarte nicht mehr Punkte als Leute, die 2. und 3. einfach weglassen, weil unklar), schreibst du noch hin, was du jetzt machst, dass die Aufgabe lösbar wird (erfinde die einfachste Möglichkeit, die dir gerade einfällt) und schreibst kurz deine Lösung hin.

Hier z.B. kannst du schreiben. Ich interpretiere den Berührpunkt als doppelten Schnittpunkt. Die beiden Punkte seien horizontal neben einander. Dann hat die gesuchte Gerade die Steigung m=0 und b=-3. D.h. die Geradengleichung y = -3.

Answer 1

g  ( x ) = 2*x^2 - 8*x + 5
r ( x ) =  -2*x^2 + 8*x - 11

Schnittpunkt
g ( x ) = r ( x )

2*x^2 - 8*x + 5 =  -2*x^2 + 8*x - 11
4 * x^2 - 16 * x = -16  | /4
x^2 - 4 * x = - 4  | pq-Formel oder Quadratische Ergänzung
x^2 - 4 * x + 2^2 = -4 + 2^2
( x - 2 )^2 = 0
x - 2 = 0
x = 2

g ( 2 ) = 2*2^2 - 8*2 + 5
g ( 2 ) = 8 - 16 + 5
g ( 2 ) = -3
S ( 2  | -3 )

c.)
y = 0 * x -3

zu b.)
Hier wäre die Differentialrechnung von Nöten.
g ´( x ) = 4 * x - 8
g ´( 2 ) = 4 * 2 - 8
g´( 2 ) = 0
Die Steigung von g im Schnittpunkt S ist gleich 0.
Der Schnittpunkt ist ein Extrempunkt von g.
Und auch von r.
Die Steigung der Geraden ( Tangente von g und r )
ist demnach auch = 0. Siehe b.)

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Hmm

Bilden Sie die Gerade, welche durch die 2 Schnittpunkte geht.

Wie interpretierst du das ? 

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Die Frage ist falsch gestellt.

1.) es gibt nur einen Schnittpunkt welcher zugleich ein Berührpunkt
2.Ordnung ist. Berührpunkt 2.Ordnung hab ich hier im Forum gelernt :
Berührpunkt 1.Ordung f ( x ) = g ( x )
Berührpunkt 2.Ordnung auch  f ´ ( x) = g ´ ( x )

In diesem Moment fällt mir auf das sogar der Begriff
" Schnittpunkt " falsch gewählt ist.
In einigen Abitur-Aufgaben  die ich gerechnet habe,
wurde unterschieden zwischen der Formulierung
" Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt ( 4  | 0 ) "
und
" Der Graph berührt die x-Achse im Punkt ( 4  | 0 ) "

Die Aufgabe könnte heißen
1.) Berechnen Sie den Berührpunkt beider Funktionen.
2.) Zeichnen Sie die gemeinsame Tangente im Berührpunkt in eine
     Skizze ein
3.) Geben Sie die Funktionsgleichung  dieser Tangente in der Form
      g ( x ) = m * x + b an.

 Wobei g ( x )  in dieser Aufgabe zweimal verwendet wird.

  Fazit : Präzision der Aufgabenstellung Schulnote 6 (-)

  mfg Georg

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Berührpunkt 1.Ordung f ( x ) = g ( x )
Berührpunkt 2.Ordnung auch  f ´ ( x) = g ´ ( x )

Hallo Georg,

Ein Schnittpunkt zweier Funktionen (z.B.  S = (3|5) der Funktionen f und g mit  f(x) = 3x-4  und  g(x) = -x+8 )  wird mit Sicherheit nicht Berührpunkt (egal welcher Ordnung) genannt.

Vielleicht könnte man einen solchen gemeinsamen (f=g) Punkt, bei dem sich die Graphen nicht nur berühren (f '=g '), sondern bei dem zusätzlich noch  f '' = g ''  gilt, einen Berührpunkt zweiter Ordnung nennen.

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War bei mir so gespeichert. Dann korrigiere ich mich

Zitat

" Verallgemeinert spricht man von einer Berührung n-ter Ordnung, wenn gilt

f(x) = g(x)
f'(x) = g'(x)
f''(x) = g''(x)
...
f⁽ⁿ⁾(x) = g⁽ⁿ⁾(x)

wenn also der Funktionswert und alle bis zur n-ten Ableitung übereinstimmen. "
Zitat Ende

mfg Georg

Answer 2

Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Funktionen

f(x) = g(x)
2·x^2 - 8·x + 5 = - 2·x^2 + 8·x - 11
4·x^2 - 16·x + 16 = 0
x^2 - 4·x + 4 = 0
(x - 2)^2 = 0
x = 2

f(2) = 2·2^2 - 8·2 + 5 = -3 --> S(2 | -3)

 

Bilden Sie die Gerade, welche durch die 2 Schnittpunkte geht.

Das ist mir unklar, denn wir haben ja nur einen Schnittpunkt und nicht zwei. Und eigentlich ist das nichtmal ein Schnittpunkt sondern nur ein Berührpunkt. Die Aufgabenstellung ist also katastrophal !!

 

Hier mal eine Skizze