Statistik, Laufwegminimierung der Mitarbeiter an Werksstraße, bitte um Herangehensweise/Lösung

Question

Hallo ihr lieben,

Ich stehe vor einer Aufgabe aus dem Bereich Statistik die mir gestellt wurde und die ich gerne lösen möchte. Mir fehlt jedoch jeder Ansatz wie ich auf eine Lösung kommen soll. Mir liegt leider auch keine Lösung vor. Als Zielfunktion denke ich soll: Z(x₁x₂x₃x₄)=450x₁+150x₂+200x₃+200x₄--->min

Da es sich um ein Statistikmodul handelt, denke ich, dass die Lösung über statistische Rechenwege zu erreichen ist. Hier die Aufgabe:

Auf dem Werksgelände einer Firma soll ein Kiosk errichtet werden. Auf dem Gelände befinden sich entlang einer Werksstraße 4 Gebäude:

Gebäude 1 mit 450 Mitarbeitern ist 0 m vom Werkstor entfernt.

Gebäude 2 mit 150 Mitarbeitern ist 100 m vom Werkstor entfernt.

Gebäude 3 mit 200 Mitarbeitern ist 400 m vom Werkstor entfernt.

Gebäude 4 mit 200 Mitarbeitern ist 500 m vom Werkstor entfernt.

1.  Wo muß der Kiosk errichtet werden, wenn die Summe der Wegstrecken aller Mitarbeiter zum Kiosk minimiert werden soll? Wie groß ist die Summe der Wegstrecken?

2. Wo liegt der Standort, wenn besonders lange Wege vermieden werden sollen und deshalb
jede Wegstrecke quadratisch bewertet wird? Wie groß ist nun die Summe derWegstrecken?

 

Ich danke euch schon mal im voraus für eine Antwort und hoffe ihr könnt mir helfen,

Danke,

Basti

Answer 1

Ein Versuch:

zu 1)

Liegt der Kiosk im Bereich des Zentralwertes, so kommt im Falle von n gleich gerade  (was hier mit n = 1000 vorliegt) die Hälfte der Beschäftigten (= 500) von der einen, die andere Hälfte (=500) von der anderen Richtung, falls sie überhaupt zum Kiosk loslaufen wollen.

Da bereits 450 bei x = 0 m "parken" also schon fast die Hälfte aller Beschäftigten bei x = 0 m vorliegt und mindestens 50 Beschäftigte bereits bei x = 100 m vorhanden sind, kann der Zentralwert nur 100 m sein.

Wenn man dies in die Zielfunktion entsprechend einsetzt, müsste 185 000 m als minimale Wegstrecke herauskommen.

zu 2)  Minimierung der Summe aller quadrierten Wegstrecken der Beschäftigten

Sei s die Entfernung vom Kiosk und xi der Abstand des Arbeitsplatzes des i-ten Beschäftigten vom Kiosk

Dann muss untersucht werden: Min ∑_i=1ⁿ (xi -s)²  für s ∈ ℝ

WQ(s) := ∑_i=1ⁿ (xi -s)²

Nun bilden wir die 1. Ableitung (notwendiges Kriterium für Extrema) nach s:

WQ(s)/ds = ∑_i=1ⁿ 2*(xi -s)*(-1) = -2 ∑_i=1ⁿ (xi -s) = -2 ∑_i=1ⁿ (xi) + 2*n*s

1. Ableitung Null setzen -> -2 ∑_i=1ⁿ (xi) + 2*n*s = 0 -> s = (∑_i=1ⁿ (xi))/n

2. Ableitung bilden (hinreichende Bedingung für Extrema)

WQ(s) '' = 2*n

Da n > 1 ist, folgt WQ(s) '' > 0 -> Minimum

s = (∑_i=1ⁿ (xi))/n = arithmetisches Mittel

Wenn mich nicht alles täuscht, müsste s gleich 195 m.

Die sich daraus ableitende Gesamtweglänge kannst dir selber ausrechnen.

Comments

Hallo Bepprich,

  die Aufgabe ist identisch mit einer 2.Aufgabe des Gastes
die ich beantwortet habe.

  Die Lösung für 2.) stimmt bei uns überein.

  Für Aufgabe 1.) habe ich noch keine ( möglichst einfache )
Herleitung gefunden. Mit deiner Lösung habe ich noch Probleme.

 Zitat " Liegt der Kiosk im Bereich des Zentralwertes, so kommt im Falle
von n gleich gerade  (was hier mit n = 1000 vorliegt) die Hälfte der
Beschäftigten (= 500) von der einen, die andere Hälfte (=500) von der
anderen Richtung, falls sie überhaupt zum Kiosk loslaufen wollen. "

  Meine Überlegung : es gibt gar keinen Punkt für den 500 von der einen
und 500 von der anderen Seite kommen könnten.

  Deshalb kann ich deine weiteren Überlegungen nicht nachvollziehen.
Deine ( und  meine ) Lösung mit 100 m für 1.) ist ok.  Bei meiner Lösung
wären aufwendige  Fallunterscheidungen notwendig.

  Ich bin noch auf der Suche nach einer wasserdichten und einfachen
Betrachtung des Sachverhalts / Lösung.

  mfg Georg

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Hi Georg,

zu 1) es war nur ein Gedankenversuch, der aber bei ähnlichen Aufgaben durchaus funktioniert.

Zentralwert an sich ist klar?

1000 Leute sind es insgesamt. Die Hälfte macht 500. 450 sind bereits bei x = 0 m. Also, liegt der Schluss nahe, dass x = 0 nicht der Zentralwert sein kann, da 50 fehlen.

Schauen wir uns den nächsten Stützwert bei x = 100 m an. Hoppla, da tummeln sich 150 Leute rum, also mindestens 50. Sie liegen quasi bereits bei x = 100 m vor und machen die Hälfte, also die 500 voll. Somit bin ich am Zentralwert angelangt.

PS/ Kann man meine Antwort zur anderen Frage hinzufügen?

---

Deinem Wunsch wurde entsprochen ;).

Answer 2

zunächst einmal eine Skizze

K ist der optimale Standort des Kiosk unter dem Gesichtspunkt
des geringsten Laufwegs.

Die Entfernung zwischen dem Kiosk und dem Gebäude 1
ist  | K - x1 | . Durch das Betragszeichen ist die Entfernung stets
positiv.

L =    | K - 0 |  * 450
      + | K - 100  |  * 150
      + |  K - 400 |  * 200
      + |  K - 500 |  * 200

So jetzt wird´s durch die Bertragsstriche etwas komplizierter.
Schaue dir schon einmal die Lösung für 2.) an.

2.
Jetzt wird´s einfacher. Da die Wegstrecke quadratisch bewertet werden
soll können die Betragszeichen weggelassen werden denn
( | K - x1 | )^2 = ( K- x1 )^2

L =    ( K - 0 )^2  * 450
      + ( K - 100  )^2   * 150
      + (  K - 400 )^2  * 200
      + (  K - 500 )^2  * 200

L = 450 * K^2 
       + ( K^2 - 200 * K + 10000 ) * 150
       + (  K^2 - 800 * K + 160000 ) * 200
       + ( K^2 - 1000 * K + 250000 ) * 200

L =  1000 K^2 - 390000 * K + 83500000
L ´( K ) = 2000 * K - 390000
Extrempunkt
2000 * K - 390000 = 0
K = 195 m

Soviel zunächst

mfg Georg

Comments

Hallo Bepprich,

  die Aufgabe ist identisch mit einer 2.Aufgabe des Gastes
die ich beantwortet habe.

  Die Lösung für 2.) stimmt bei uns überein.

  Für Aufgabe 1.) habe ich noch keine ( möglichst einfache )
Herleitung gefunden. Mit deiner Lösung habe ich noch Probleme.

 Zitat " Liegt der Kiosk im Bereich des Zentralwertes, so kommt im Falle
von n gleich gerade  (was hier mit n = 1000 vorliegt) die Hälfte der
Beschäftigten (= 500) von der einen, die andere Hälfte (=500) von der
anderen Richtung, falls sie überhaupt zum Kiosk loslaufen wollen. "

  Meine Überlegung : es gibt gar keinen Punkt für den 500 von der einen
und 500 von der anderen Seite kommen könnten.

  Deshalb kann ich deine weiteren Überlegungen nicht nachvollziehen.
Deine ( und  meine ) Lösung mit 100 m für 1.) ist ok.  Bei meiner Lösung
wären aufwendige  Fallunterscheidungen notwendig.

  Ich bin noch auf der Suche nach einer wasserdichten und einfachen
Betrachtung des Sachverhalts / Lösung.

  mfg Georg

---

hier meine Antwort mithilfe einer Skizze

Die Skizze zeigt die von mir aufgestellte Formel für 1.)
Die Funktion ist durch die Betragsstriche abschnittsweise
definiert. Der Tiefpunkt ist bei x = 100. Der Funktionswert
kann ausgerechnet werden.
Die Antwort stimmt ist mir aber nicht einfach genug.

@Bepprich, unglücklichsterweise habe ich deine Argumentation
noch nicht nachvollziehen können.
Den Begriff " Zentralwert " kannte ich noch nicht habe
mich aber über das Internet schlauer gemacht.
In einer geordneten steigenden Reihe bedeutet
dies das unterhalb des in der Mitte liegenden Elements
alle Werte kleiner sind als das mittlere Element. Oberhalb
sind die größeren Werte.
Das mittlere Element liegt bei 500.
Aber was für Werte sind in der Reihe aufgelistet ?
Wegstrecke vom Gebäude zum Kiosk ?
Den optimalen Platz für den Kiosk kennen wir noch nicht.
Warum soll der Tiefpunkt der aufsummierten Wegstrecken bei
n = 500 liegen ?
mfg Georg

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Manches kann man nicht in Formeln gießen, selbst wenn wir uns das täglich immer wieder wünschen.

Ich bin halt nur pragmatisch vorgegangen und habe versucht, rein bildlich auf eine Lösung zu kommen. Kann auch sein, dass meine Überlegungen zufällig auf das Richtige hinausliefen ...

Jedenfalls ist der Zentralwert hier im statistischen Sinne zu verstehen. Und es geht mehr um die Kombination von Anzahl der Beschäftigten zu deren Aufenthaltsort.

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Mein Vorschlag zu 1.)
ausgegangen wird von
( siehe meine gemalte Skizze )
L ( K ) =    | K - 0 |  * 450
      + | K - 100  |  * 150
      + |  K - 400 |  * 200
      + |  K - 500 |  * 200
Die Funktion stimmt.

Über Fallunterscheidungen würden sich 3 Abschnitte
ergeben für die jeweils eine Gleichung aufgestellt
werden kann.
Die Gleichungen wären linear.
Min oder Max Punkte gibt es nur am Beginn oder Ende des
Abschnitts.
Also müßten nur L ( 0 ), L ( 100 ), L ( 400 ) und
L ( 500 )  berechnet werden.
Der tiefste Wert wäre das Minimum.
Stimmt auch. K = 100
mfg Georg

Answer 3

Der zweite Teil wird in der Statistik oft benutzt und sollte daher bekannt sein. Es geht hier um den Erwartungswert oder das arithmetische Mittel der Zahlenwerte. Wenn der blau hervorgehobene Satz nicht bekannt ist, solltest du ihn besser allgemein beweisen.

Gebäude 1 mit 450 Mitarbeitern ist 0 m vom Werkstor entfernt.

Gebäude 2 mit 150 Mitarbeitern ist 100 m vom Werkstor entfernt. 

Gebäude 3 mit 200 Mitarbeitern ist 400 m vom Werkstor entfernt. 

Gebäude 4 mit 200 Mitarbeitern ist 500 m vom Werkstor entfernt.

2. Wo liegt der Standort, wenn besonders lange Wege vermieden werden sollen und deshalb 
jede Wegstrecke quadratisch bewertet wird? Wie groß ist nun die Summe der Wegstrecken?

 

Berechne einfach den Durchschnitt der Abstände der Arbeiter von Werkstor. Es ist eine bekannte(?) Eigenschaft des Mittelwerts, dass die Summe der Abstände so minimiert werden. vgl: Satz "Die Summe der Quadrate der Abweichungen aller Daten vom Mittelwert ist kleiner als die Summe der Quadrate der Abweichungen von irgendeinem anderen Wert." gleich oberhalb von https://de.wikipedia.org/wiki/Gewichtetes_arithmetisches_Mittel#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel

m = (450*0 + 150*100 + 200*400 + 200*500)/(450 +150 + 200 + 200) = 195 m vom Tor entfernt.

Jetzt noch die (doppelten) Wegstrecken mit den Arbeitern multiplizieren. 

450*(2*195) + 150*(2*95) + 200*2*(400-195) + 200*2*(500-195) =  482.0 km 

Nun zu 1.

 

Gebäude 1 mit 450 Mitarbeitern ist 0 m vom Werkstor entfernt.

Gebäude 2 mit 150 Mitarbeitern ist 100 m vom Werkstor entfernt. 

Gebäude 3 mit 200 Mitarbeitern ist 400 m vom Werkstor entfernt. 

Gebäude 4 mit 200 Mitarbeitern ist 500 m vom Werkstor entfernt.

Annahme1: Der Kiosk muss irgendwo bei x zwischen 100 und 400 m vom Werkstor entfernt liegen (Schätzung)

Also beträgt die Wegstrecke für alle

s(x) = 450*2x + 150*2(x-100) + 200*2(400-x) + 200*2(500-x)

= 400x + 330'000

Das ist eine steigende lineare Funktion. Da wir das Intervall [100,400] vorausgestzt haben, liegt das Minimum bei x = 100m

Die gesamte Wegstrecke ist s(100) = 330'000m + 40'000m = 370'000 m.

Annahme 2. Vielleicht doch besser zwischen 0 und 100 m?

s(x) = 450*2x + 150*2(100-x) + 200*2(400-x) + 200*2(500-x) = 390000-200 x

Das ist nun eine monoton fallende Gerade. Das Minimum liegt an der rechten Intervallgrenze bei x= 100

s(100) = 390'000m - 20'000m = 370'000m.

Meine Folgerung: Der Kiosk sollte bei x=100m aufgestellt werden.

Du solltest aber zur Sicherheit noch die Annahme 3. : Der Kiosk zwischen 400 und 500 aufstellen durchrechnen. Da sollte das Minimum dann bei x=400 liegen. Die Summe der Wegstrecken dürfte aber die 370'000m übersteigen.