Grenzwert rekursive Folge: a(1) = 1 ; a(n+1) = 2·a(n)/(1 + 4·a(n))

Question

ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter, könnte mir jemand mit einem Ansatz weiterhelfen?

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge $$a_{n}$$ mit $$ a_{1} := 1 $$ und $$ a_{n+1} := \frac{2a_{n}}{1+4a_{n}} $$ Die Folge ist konvergent und ihr Grenzwert ist größer als 0.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Comments

$$\text{Tipp: Es gilt }\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.$$

Answer 1

Wenn es einen Grenzwert gibt dann ist

lim (n→∞) a_n = lim (n→∞) a_n+1 = a

a = 2·a/(1 + 4·a)

Das löst man nach a auf

a = 1/4

Dann schaut man ob das mit der Folge hinhaut.

Answer 2

Du meinst a₁ = 1. Nicht a_n:=1. Das kann nicht allgemein gelten. EDIT: Fragestellung korrigiert.

Für den Grenzwert a gilt:

a = 2a/(1 + 4a)       |* (1 +4a)

a(1+4a) = 2a

a + 4a^2 - 2a = 0

4a^2 - a = 0

a(4a-1) = 0

a1 = 0

a2 = 1/4         sind 2 Kandidaten für den Grenzwert

Da der Grenzwert grösser als 0 ist, kommt a1 nicht in Frage.

Daher ist a = 1/4.

Comments

Ja genau, $$ a_{1} = 1  $$

Danke für die Erklärung.

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Bitte. Gern geschehen!

EDIT: Index in Fragestellung den Antworten entsprechend korrigiert.