Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz!

Question

Da mir von einer Seite leider die Lösungen fehlen, wollte ich hier meine Ergebnisse nochmal kontrollieren lassen :)

Es sollen nur die drei Kriterien angewendet werden: Leibniz-, Quotienten- und Wurzelkriterium

Ich poste im Folgenden die Aufgabe und meine errechnete Lösung und bitte um die Bestätigung oder Korrektur von einzelnen Aufgaben :)

a) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { k }{ { 2 }^{ k } }  } $$ mithilfe des WK = 1/2

b) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { \sqrt { k }  }{ { 2 }^{ k }+{ 3 }^{ k } }  } $$ mithilfe des WK = 1/5

c) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ k }(\sqrt { 4+\frac { 1 }{ k }  } -2) } $$ hier bin ich mir unsicher. Mithilfe des LK komme ich auf 1/k > 1/(k+1) > 0. Hier würde ich eine Rechnung nicht schlecht finden :)

e) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1+\sqrt { k }  }{ { 2 }^{ k+1 } }  } $$ mithilfe desWK komme ich auf 1, was aber aussagt, dass dieses Kriterium hier nicht funktioniert. Mit dem QK komme ich aber überhaupt nicht vorran und bitte daher um eine Rechnung :)

f) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ { (\sqrt [ k ]{ 5 } -k) }^{ k } } $$ mithilfe des WK komme ich auf 0

g) $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 2 }^{ k } }{ k^{ 3 }+{ 3 }^{ k+1 } }  } $$ mithilfe des QK komme ich auf 1/ε

Comments

Bringst du es vielleicht fertig einen Teil deiner Aufgaben zur Kontrolle hier https://www.wolframalpha.com/

einzugeben? Das sollte eigentlich zumindest teilweise möglich sein.

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Hi, erklär mir mal, wie Du mit dem Wurzelkriterium auf das Ergebnis von a) gekommen bist.

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hm, da ist einiges leider nicht richtig.

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zu Zitat: "erklär mir mal, wie Du mit dem Wurzelkriterium auf das Ergebnis von a) gekommen bist."

Ich sehe gerade, dass "1/2" vermutlich nicht der Wert der Reihe sein soll, sondern der Grenzwert aus dem Wurzelkriterium. Falls dies der Fall ist, ist a) soweit richtig. Natürlich lässt sich das Ergebnis auch noch in einem sinnvollen Satz aufschreiben...

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Also bei den Ergebnissen handelt es sich um die Werte, die rauskommen, um zu untersuchen ob diese größer oder kleiner 1 sind, um zu beurteilen ob die Reihen konvergieren oder divergieren.

also bei a) kommt man leicht auf das Ergebnis, da $$ \sqrt [ k ]{ k } =1 $$ ist und bei der zwei das ^k entfällt.

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Wie lauten denn die Ergebnisse Bepprich? Kannst du ja mal kurz auflisten

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für alle Fälle bin ich noch nicht so weit...

zu a ) stimmt, mit dem QK habe ich 1/2 ermittelt. Reihe konvergiert.

zu b) Mit WK sollte 1/3 rauskommen. Es geht auch m. E. mit dem QK, was dann 1/2 liefert.

Egal wie, die Reihe konvergiert

zu c) Bei alternierenden Reihen nimmt man meistens das LK her. Das was nach den (-1)^k kommt, ist eine Folge, wo man nachweisen muss, dass es eine Nullfolge ist. Dann konvergiert die Reihe.

Wenn wir uns die Folge ansehen und k gegen oo laufen lassen, erhalten wir 0. Zudem schein a_n+1 ≤ a_n zu sein.

Reihe konvergiert.

zu e) mit QK erhalte ich 1/2, Reihe dürfte konvergieren.

zu f) mit WK kommt bei mir -oo heraus. Weitere Überlegungen folgen ..

Answer 1

Aufgabe a)

Partialsumme betrachten !!  2/k - 2/ k+1 = 2  - 2/ k+1

lim k----> ∞ (  2 - 2/ k+1 )  =  lim k--->∞  2     -  lim k----> ∞  2/k+1 = 2 -  0   =  2  !! Konvergiert , daraus folgt :

∑^∞  k=1      1/k²   konvergiert auch absolut .