Linearen Abbildung. Matrix bestimmen s.d. f(1,1,1)=(2,1), f(1,1-1)=(0,-1), f(1,0,1) = (-1,2).

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( f(1,1,1)=(2,1), f(1,1,-1)=(0,-1) \), \( f(1,0,1)=(-1,2) \), d.h. geben Sie die Matrix \( M(f) \) an. Warum gibt es eine solche Abbildung? Bestimmen Sie die Dimensionen der Unterräumen \( K \operatorname{ern}(f) \) und \( \operatorname{Im}(f) \).

Muss ich konkret die Lösungsmenge in eine Formel einsetzen oder wie läuft die Rechnung genau ab?

Ich muss mich jetzt schon dafür entschuldigen, dass ich die Aufgabe so poste, da das normalerweise nicht mein Stil ist aber ich wusste nicht wie ich die Aufgabe anders posten sollte (also schriftlich).

Answer 1

Naja. Du sollst die Matrix einer Linearen Abbildung aus dem R3 in den R2 bestimmen. Wir notieren die Matrix erstmal mit Variablen.

M = [a, b, c; d, e, f]

Nun stellen wir die Bedingungen auf. 

[a, b, c; d, e, f]·[1; 1; 1] = [2; 1]
[a, b, c; d, e, f]·[1; 1; -1] = [0; -1]
[a, b, c; d, e, f]·[1; 0; 1] = [-1; 2]

Daraus entstehen 2 Lineare Gleichungssysteme die du lösen kannst

a + b + c = 2
a + b - c = 0
a + c = -1

Hier erhalten wir die Lösung a = -2 ∧ b = 3 ∧ c = 1

d + e + f = 1
d + e - f = -1
d + f = 2

Hier erhalten wir die Lösung d = 1 ∧ e = -1 ∧ f = 1

Damit ist die Matrix definiert.

Answer 2

In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren.

Wegen Linearität, kannst du rechnen

f(1,1,1)- f(1,0,1) =  (2,1) - (-1,2) 

f(0,1,0) = (3,-1)              

Das ist die 2. Spalte der Abbildungsmatrix.

 f(1,1,1)- f(1,1-1)=(2,1)- (0,-1)

f(0,0,2) = (2,2)

f(0,0,1) = (1,1)

Das ist die 3. Spalte der Abbildungsmatrix

Nun noch die 1. Spalte

f(1,0,0) = f(1,1,1) - f(0,1,0) -f(0,0,1) = (2,1) - (3,-1) - (1,1) = (-2, 1)

Die Abbildungsmatrix wäre somit 
(-2, 3, 1
.  1,-1, 1)

Hoffentlich hast du das Prinzip begriffen. Rechne das erst mal sorgfältig nach und melde abweichende Resultate. 

Danach kannst du bestimmt die gefragten Dimensionen selbst bestimmen. Dimension des Bildes sollte 2 und das des Kerns 1 sein, wenn's bis hierhin stimmt.