Anwendung der Quotientenregel und Kettenregel: f'(x)=-2x/(x^{2} + 2)^{2}, f''(x)=?

Question

Sers Leute :-) Also ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:
Bestimmen Sie f'(x) und f''(x) für f(x): 1/(x^2 + 2). Umformen = (x^{2} + 2)^{-1}. Die erste Ableitung ist einfach zu bestimmen. Wir haben: u'(v): -1v^{-2} danach folgt v'(x): 2x. Nun die Kettenregel anwenden und schon erhalten wir f'(x) = -2x/(x^{2} + 2)^{2}.
Jetzt soll ich die zweite Ableitung bilden. Hier scheitere ich jetzt schon zum x-sten mal. Die Lösung soll (6x^{2} - 4)/(x^{2} + 2)^{3} sein.
Mein Problem ist es u'(v) und v'(x) zu bestimmen. Ich muss doch u'(v) und v'(x) auf - 4/(x^{2} + 2)^{3} beziehen, oder sehe ich das falsch?

Comments

Das / stellt ein geteilt Zeichen dar.

Answer 1

-2x/(x² + 2)²

u(x) = -2x,            u'(x) = -2

v(x) = (x^2 + 2)^2 , 

v'(x) = 2x*2(x^2 + 2)   (Kettenregel)

= 4x (x^2 + 2)

Nun Quotientenregel

^{f''(x) = (-2*(x^2+ 2)^2 - (-2x)*4x(x^2+ 2)) / ((x^2 + 2)^2)^2}

⁼  (-2*(x^2+ 2)^2 +8x^2*(x^2+ 2)) / (x^2 + 2)^4      |(x^2+2) kürzen

=   (-2*(x^2+ 2) +8x^2) / (x^2 + 2)^3   |innere Klammer auflösen

=  (-2x^2 -4  +8x^2) / (x^2 + 2)^3       |Zähler zusammenfassen

= (6x^2 - 4)/(x^2 + 2)^3

Answer 2

f(x) = 1/(x² + 2)

(u/v)' = (u'v - uv')/v^2

u = 1 | u' = 0

v = (x² + 2) | v' = 2x

v² = (x² + 2)^2

f'(x) = -2x/(x² + 2)^2

u = -2x | u' = -2

v = (x² + 2)^2 | v' = 2 * (x² + 2) * 2x = 4x * (x² + 2)

v² = (x² + 2)^4

f''(x) = [-2 * (x² + 2)^2 + 2x * 4x * (x² + 2)] / (x² + 2)^4 | : (x² + 2)

= [-2 * (x² + 2) + 8x²] / (x² + 2)^3

= [-2x² - 4 + 8x²] / (x² + 2)^3

= [6x² - 4] / (x² + 2)^3

Besten Gruß