Löse trigonometrische aufgabe

Question

Löse:

cos(x+b) - cos(x) = c1

sin(x+b) - sin(x) = c2

mit b, c1, c2 bekannt

wenn c1, c2 und b geeignet liegen, gibt es eine lsg. aber winkelfunktionen waren nie meine stärke, also wie krieg ich sie raus?

Comments

Was willst du wissen? x?

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Tatsache! x ist gesucht!

Es scheint tatsächlich keine einfach Umformung zu geben. Mathematica spuckt ellenlange Formeln aus. Wer es doch schafft, dem gebürt mein ganzer Respekt.

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Man könnte quadrieren, addieren und dann schauen, ob man die Aditionstheoreme zum Vereinfachen nutzen kann...

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Siehe unten ;). Falls es Probleme beim vollends Lösen gibt, so gib Bescheid.

Answer 1

Hi,

mit den Additionstheoremen kann man dem gut beikommen :).

sin(x)-sin(y) = 2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)

Damit vereinfacht sich die zweite Gleichung zu:

2cos(x+b/2)sin(-b/2) = c

Das aufzulösen ist keine Kunst mehr ;).

Für das erste selbiges Verfahren:

cos(x)-cos(y) = 2sin((y+x)/2)sin((y-x)/2)

Grüße

Comments

Ah, supi, vielen Dank.

zwei kleine Fehler sind in Deiner Lösung (vorzeichen, Theorem falsch abgepinselt), aber im Prinzip scheint das so zu klappen. vielen dank!!

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Ups, tatsächlich in der Zeile verrutscht ;). Aber klappt trotzdem^^ (Oben korrigiert).

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jetzt sind es schon zwei vorzeichen fehler ;)

korrekt ist:

2cos(x+b/2)sin(-b/2) = c

und

cos(x)-cos(y) = -2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)

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Test bestanden! Du schaust Dir meine Antwort in der Tat an :D.

War ich wohl etwas schludrig beim Abschreiben von der Formelsammlung (bzw. dann deren Umsetzung) (nun hoffentlich richtig korr) :).

Answer 2

Hi, 

keine ganze Lösung, nur Ansatz ;)

Es ist ja sin(x) = √(1-cos^2 (x)). Einsetzen in 2. Gleichung:

√(1-cos^2 (x+b)) - √(1-cos^2 (x)) = c2 

Setze: c2 + a = c1. Also:

√(1-cos² (x+b)) - √(1-cos² (x)) = cos(x+b) - cos(x) + a   (Quadrieren)

1-cos² (x+b) - 2*√(  (1-cos² (x+b))*(1-cos²(x))  ) + 1-cos² (x) = (cos(x+b) - cos(x) + a)²

 ^. -2*√(  ((1-cos² (x+b))*(1-cos²(x))  ) - cos²(x+b) - cos²(x) = cos(x+b)² - 2*cos(x+b)*(cos(x)+a) + (cos(x) + a)²

-2*√(  ((1-cos² (x+b))*(1-cos²(x))  ) - cos²(x+b) - cos²(x) = cos(x+b)² - 2*cos(x+b)*(cos(x)+a) + cos²(x) + 2cos(x)a + a²

-2*√(  ((1-cos² (x+b))*(1-cos²(x))  ) = 2*cos²(x+b) + 2*cos²(x) - 2*cos(x+b)*(cos(x)+a) + + 2cos(x)a + a²

 Jetzt durch 2 und dann quadrieren usw usw usw usw... Hab kein Bock das alles auszurechnen, viel Spass :P

Das wäre mein Ansatz^^

Comments

Ok zu kompliziert, sehe ich ^^

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Wie kommst Du darauf, dass das funktioniert? Bzw. wo willst Du dahin?

Problem ist doch in erster Linie, dass Du cos(x+b) hast und cos(x) (oder gleiches mit dem Sinus). Da bringt Dir auch das rumgemoddle mit dem Quadrieren etc nichts. Oder übersehe ich was?

Ansonsten hast Du mit Deinem Kommentar recht :D.

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trotzdem danke für die mühe