Analysis: Verkettete Funktion

Question

Ich soll eine Tabelle vervollständigen, hat auch ganz geklappt, bis auf die letzten drei Aufgaben.

g(x)	f(x)	(f•g)(x)
x / x-1	x / x-1	???
???	1 + 1/x	x
1/x	???	x

Lösungen:
1. Spalte: x
2. Spalte: 1/ x-1
3. Spalte: 1/x

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das machen soll. Verkette ich die Funktionen der ersten Spalte würde ich schreiben:
(x/x-1)/((x/x-1)-1). Ich weiß nicht, wie ich das umformen soll. Bruch durch Bruch (bzw. mit variablen) habe ich ehrlich gesagt nie gelernt...

Wie kann ich das also lösen?

Answer 1

Hi,

$$\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1} =  \frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x-(x-1)}{x-1}} = \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{1} = x$$

Merke: Wenn du durch einen Bruch(!) dividierst(!) kannst du stattdessen mit seinem Kehrwert(!) mutiplizieren! 

Alles klar? ;)

Comments

Entschuldige die Latex Probleme, sind jetzt behoben.

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Wenn man erweitert ist die Minusklammer zu berücksichtigen (erster auf zweiter Schritt).

Zudem sagst Du (mit Ausrufezeichen), dass mit dem Kehrwert multipliziert werden muss und doch Tust Du es nicht (zweite auf dritter Schritt). Der letzte Schritt ist ohnehin ein Rätsel für sich :P.

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Oh man! Das hab ich irgendwie ganz verkackt. ^^

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Ist korregiert^^

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So siehts gut aus :).

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Schon mal danke für die Antwort. Habe eben versucht, jeden einzelnen Schritt auf zuschreiben (muss feststellen, dass ich eine Niete in Bruchrechnung bin...). Leider bin ich nicht weiter gekommen.

$$ \frac { \frac { x }{ x-1 }  }{ \frac { x }{ x-1 } -1 } =\frac { x }{ x-1 } :\left( \frac { x }{ x-1 } -1 \right) =\frac { x }{ x-1 } :\left( \frac { x }{ x-1 } -\frac { 1 }{ x-1 }  \right) =??? $$

Und jetzt? Oder habe ich bereits einen Fehler gemacht?

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Ein Fehler: 1/(x-1) ist ungleich 1! Nimm stattdessen (x-1)/(x-1) = 1. Also:

$$... = \frac{x}{x-1} : \left( \frac{x}{x-1} - \frac{x-1}{x-1} \right) = \frac{x}{x-1} : \left( \frac{x - (x-1)}{x-1}\right)$$ 

Vereinfachen. Dann die Regel mit dem Kehrwert beachten (siehe meine Antwort!) Alles klar so? :-)

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Ah ok da war der Fehler. So habe die gesamte Rechnung jetzt mal aufgeschrieben:
$$ \frac { \frac { x }{ x-1 }  }{ \frac { x }{ x-1 } -1 } =\frac { x }{ x-1 } :\left( \frac { x }{ x-1 } -1 \right) =\frac { x }{ x-1 } :\left( \frac { x }{ x-1 } -\frac { x-1 }{ x-1 }  \right) =\frac { x }{ x-1 } :\frac { x-(x-1) }{ x-1 } =\frac { x }{ x-1 } :\frac { 1 }{ x-1 } =\frac { x }{ x-1 } *\frac { x-1 }{ 1 } =\frac { x }{ 1 } =x $$

jetzt müsste alles stimmen :)

Dann gehts jetzt an die nächsten Aufgaben.

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Jo, alles richtig! Super! Alternative für das 'Mal' statt * ist: \cdot. ;-) Bei LaTeX natürlich nur.

Answer 2

das ist die Verkettung. Letzte Spalte ist demnach nichts anderes als f(g(x)), so wie Du es schon zeigst.

Ersteres soll je x/(x-1) bedeuten? (Klammersetzung bitte!)

Erste Zeile: f(g(x)) = (x/(x-1))/(x/(x-1)-1) = (x/(x-1)) / (1/(x-1)) = x

Zweite Zeile: g(x) = 1/(x-1), denn f(g(x)) = 1 + 1/(1/(x-1)) = 1 + (x-1) = x

Dritte Zeile: f(x) = 1/x, denn f(g(x)) ist dann 1/(1/x) = x, wie verlangt.

Dabei wurde ein "Doppelbruch" immer mit dem Kehrbruch aufgelöst. Das ist sicher bekannt ;).

Grüße