Berechnen Sie die Koordinaten von p bezüglich der Basis B, sowie den Punkt q.

Question

Hey :)

Kann mir eventuell jemand bei dieser Aufgabe helfen? Leider weiß ich nicht wie ich anfangen soll..

Es sei \( p=\left(\begin{array}{c}{3} \\ {-2} \\ {4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) und \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei linear und habe bezüglich der Basis
\( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)=\left(\begin{array}{rrr}{1} & {1} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right) \) die Matrix \( F_{B}=\left(\begin{array}{rrr}{-1} & {-2} & {0} \\ {2} & {3} & {0} \\ {0} & {0} & {2}\end{array}\right) \)
Berechnen Sie die Koordinaten von \( p \) bezüglich der Basis \( B, \) sowie den Punkt \( q=F(p) \)

Answer 1

Berechnen Sie die Koordinaten von p bezüglich der Basis B, sowie den Punkt q.

Berechnen Sie die Koordinaten von p bezüglich der Basis B, 

Gleichung

(3,-2,4) = a (1,1,0) + b (1,-1,0) + c (0,0,1) 

nach den Koordinaten a, b und c auflösen.

Komponentenweise ist das das LGS:

3 = a + b       (I)

-2 = a - b    (II)

4 = c          (III)

(I) + (II)

1 = 2a → a = 0.5

Wegen (I) ---> b=2.5

Wegen (III) c = 4

p_B = (0.5 , 2.5, 4)

2. sowie den Punkt q = F(p)

. -2, -2, 0                        0.5

( 2, 3, 0    )         *      (  2.5    )     = 

. 0, 0, 2                          4 

.       -1 -5

= ( 1 + 7.5 )

          8

.       -6

= (   8.5  )_B

       8

Jetzt das Resultat noch in R^3 umrechnen.

q = -6 (1,1,0) + 8.5(1,-1,0) + 8(0,0,1) = (-6 + 8.5, -6 - 8.5, 8) = (2.5, -14.5, 8)

Bitte selbst nachrechnen.