Ist dieses Integral richtig gelöst? (logarithmische Substitution)

Question

Ich habe folgende Aufgabe gerechnet und wollte wissen, ob der Lösungsweg korrekt ist:

Ist dieses Integral richtig gelöst? (logarithmische Substitution)

\( \int \frac{2 x+3}{-4 x^{2}-12 x+8} d x=\int \frac{2 x+3}{-4 *\left[x^{2}+3 x-2\right]} d x=\left(-\frac{1}{4}\right) \int \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x-2} d x=\left(-\frac{1}{4}\right) * \ln \left(\mid x^{2}+3 x-2 \mid \right) +C \)

Answer 1

ja, dieses Integral ist richtig gelöst! :)

Grüße

Comments

Der Hintergrund ist, dass in der Lösung folgendes steht und ich jetzt nachdenke, ob die beiden Lösungen identisch sind und wie ich das am besten sehen kann.

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Ja, das ist gleichbedeutend:

$$-\frac14\cdot\ln(|-4(x^2+3x-2)|) + C$$

Nun log(a*b) = log(a)+log(b)

$$-\frac14\cdot\ln(|(x^2+3x-2)|) - \frac14\cdot\ln(|-4|)+ C$$

Der mittlere Summand ist konstant. Den kann man nun mit + C zu einer neuen Konstanten D zusammenfassen. Und dann passt das ;).

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Und bei der Lösung von Wolframalpha mit ln(|-x² -3x + 2|) ist ja identisch ln(|(-1)*(x² +3x -2)|) und dann kann ich wieder ln(|(-1)|) + ln(|x²  + 3x - 2|) und weil ln(|-1|) = ln(1) = 0, ist das dann auch identisch mit meiner Lösung

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So ist es :).

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Und der Grund warum man immer den Betrag in die ln Funktion schreiben muss, liegt allein an der Eigenschaft, dass die ln Funktion nicht bei negativen Argumenten definiert ist?

Die Ursache dafür liegt ja drin, dass die e-Funktion niemals negativ werden kann, oder?

Das war am Anfang komisch, immer ln(Betrag ...) zu schreiben.

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Also jetzt nur beim Integrieren natürlich.

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Ja das ist richtig. Wenn Du sagst Du integrierst f(x) = 1/x, so ist das abgesehen von der 0 ja überall definiert. Du musst bei der Stammfunktion dann aber verhindern, dass das Argument negativ ist! Deshalb den Betrag ;)

Answer 2

Hi,

Allright, keine Einwände!

Gruss

Answer 3

Weg sieht gut aus.

Kontrolle damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%282x%2B3%29%2F%28-4x%5E2+-+12x+%2B+8%29

Da wird nicht mal der Betrag geschrieben.

Das Argument des Logarithmus sollte aber grösser als 0 sein, daher wohl besser mit Betrag.

Comments

Also gibt es mehr als eine Lösung (bezüglich Argument der ln-Funktion) ? z.B ist bei wolframalpha jetzt -x2 -3x +2, da ist ja offentlich nur alles mit (-1) multipliziert worden, aber verändert das nicht alles?

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Die arbeiten mit komplexen Zahlen.

Weil du den Betrag nimmst, hast du in gewissen Bereichen im Argument auch -x^2 - 3x + 2.