folgenden Grenzwert bestimmen: lim für n→∞ ∑(von k=0 bis n) ((1+i)^n)/(2^n)

Question

Bestimme den folgenden Grenzwert:

lim für n→∞ ∑(von k=0 bis n) ((1+i)^n)/(2^n)

Komme absolut auf keinen grünen Zweig bei der Aufgabe.

Comments

Was ist (1+i)², (1+i)³ und hoch 4?

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Das ist 2i, -2-2i und -4. Was willst du mir damit genau sagen?

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ich hatte gehofft das du jetzt was siehst...
Zerlege die Summe in vier Teile, je nachdem was der Rest von n bei der Division durch 4 ist.
Klammere dann aus.

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Okay, werde das mal versuchen. Bin jetzt aber doch neugierig. Was hätte ich denn hier schon sehen können?

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Hast du im Komplexen denn geometrische Reihen gehabt?

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Ja, wir hatten da mal ein Beispiel, welches ich aber leider auch nicht zu hundert Prozent verstanden habe.

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Nimm vielleicht einfach mal die Formel, die du von reellen geometrischen Reihen kennst. Der Betrag von (1+i)/2 ist ja kleiner als 1.

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Oder folge dem vorgeschlagenen Weg bei dem es nur die reelle geom. Summenformel braucht...

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mit etwas Glück kommt 2 mal dasselbe raus.

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Danke für die Tipps. Werde es mal damit versuchen.

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k kommt im Summenterm nicht vor. Damit müsste ich das doch nicht als Summe schreiben sondern könnte schreiben:

lim (n → ∞) n·(0.5 + 0.5·i)^n

Hier sollte sich doch recht einfach eine Konvergenz gegen 0 zeigen lassen oder?

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Danke auch für deinen Tipp! Sehe das im Moment zwar noch nicht, werde es aber Morgen mal versuchen.

Answer 1

EDIT: Kommentar beachten!

Ich nehme einfach mal die Formel, die von reellen geometrischen Reihen bekannt ist. Der Betrag von (1+i)/2 ist ja kleiner als 1.

Nun komme ich auf die Summe

s = 1 / ( 1 - (1+I)/2)

= 1/ ((2-1-i)/2)

= 2/(1-i)       |erweitern mit 3. Binom

= 2(1+i)/(1+1)        |kürzen

= 1 + i

(ohne Gewähr)

Bitte noch prüfen. Z.B. mit der andern empfohlenen Methode.

Comments

Erst einmal danke für deine Antwort! Werde mir das aber erst Morgen noch einmal genauer ansehen. Dann bin ich konzentrierter als jetzt.

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Mathecoach: Richtiger Einwand. So wie die Aufgabe dasteht, ist das keine geometrische Reihe.

lim für n→∞ ∑(von k=0 bis n) ((1+i)ⁿ)/(2ⁿ) 

= lim für n→∞ (n+1)* ((1+i)ⁿ)/(2ⁿ)

= lim für n→∞ (n+1)*((1+i))/(2))^n        

= 0, da Exponentialfunktion stärker als jede Potenz von n und |(1+i)/2| <1.

 

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Hallo Lu,

wie bist du hier überhaupt auf die Idee gekommen, die geometrische Reihe zu benutzen? Kann deine Rechnung zwar dann nachvollziehen, sehe aber den Schritt zur geometrischen Reihe nicht.

Ist der Grenzwert jetzt doch 0? Wegen deinem letzten Kommentar? Kann das im Moment noch nicht nachvollziehen.

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Bei einer geometrischen Reihe mit q=(1+i)/2 müsste es heissen

lim für n→∞ ∑(von k=0 bis n) ((1+i)^k)/(2^k)  

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Darauf muss man erst einmal kommen! Das heißt, wenn die Aufgabe so aussehen würde wie in deinem letzten Kommentar, könnte ich das so machen, wie du in deiner Antwort mit der geometrischen Reihe?

So, wie ich die Aufgabe gestellt habe, muss ich es so wie in deinem Kommentar machen und der Grenzwert ist dann 0?

Könnte ich jetzt zumindest nachvollziehen .

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Würde ich als Zusammenfassung der Diskussion so gelten lassen.

Allerdings solltest sich irgendwo in deinen Unterlagen noch einen Hinweis finden, dass geometrische Reihen im komplexen mit der 'normalen' Formel berechnet werden können. Ansonsten: Formel noch beweisen.

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Gut, werde das gleich einmal nachschlagen. Hast du vielleicht noch eine Idee zu meiner anderen Frage mit dem Titel Konvergenz und Divergenz bei Reihen?