Beweise folgende Gleichung: LOG_b(a) = LOG(a) / LOG(b)

Question

Wer kennt einen kurzen knackigen Beweis, dass die Gleichung

LOG_b(a) = LOG(a) / LOG(b)

gilt? Es sollten möglichst nur Potenzgesetze verwendet werden.

Comments

Ich habe die Aufgabe zwar erledigt, aber ich finde meinen Nachweis noch nicht wirklich kurz und knackig.

Ich denke eventuell geht es noch einfacher und besser.

Answer 1

Die Standardherleitung geht so:

log_b(a) = z

a = b^z

log₁₀a = log₁₀(b^z)

log₁₀a = z*log₁₀(b)

log₁₀(a) / log₁₀(b) = z

Comments

Die Standardherleitung ist mir bekannt. Sie verwendet ein Logarithmengesetz. Dieses wurde noch nicht besprochen und sollte daher nicht angewendet werden.

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Aha, Du möchtest die Basiswechselformel ohne die Rechenregeln für den Logarithmus herleiten?

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Richtig. Bisher habe ich das über den Basiswechsel der Exponentialfunktion gemacht. Das geht natürlich. Aber vielleicht geht es noch etwas eleganter.

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                       a   =   a
⇒  10^{log_10 (a)}  =  b^{log_b (a)}
                            =  (10^{log_10 (b)}) ^{log_b (a)}
                            =  10^{(log_10 (b))·(log_b (a))}
⇒    log_10 (a)  =  ( log_10 (b) ) · ( log_b (a) )

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Ja. Genau so hatte ich mir das vorgestellt. 

Danke.

Answer 2

Grossartig Potenzgesetze anwenden, muss ich hier nicht. Ich hoffe, dass das violette bekannt ist.

x = y^z

Definition des Logarithmus

z = log_yx

x = y^z        |Logarithmus

LOGx = LOGy^z = z*LOGy

LOGx/ LOGy = z

Nun die beiden blauen Terme gleichsetzen und Definitionsbereiche festlegen.

Comments

Ja. Dann verwendest du ein Logarithmengesetz, was ich eigentlich vermeiden wollte.

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Ist noch gar kein Logarithmengesetz bekannt? 

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Nein. Bisher ist kein Logarithmengesetz bekannt :) Daher sieht mein Nachweis momentan auch noch etwas blöd aus :)

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Das wird jetzt etwas umständlicher:

LOG_b(a) = LOG(a) / LOG(b) 

Ich benutze 3 mal die Definition:

LOG_b(a) = z 

b^z = a

LOG(a) = x

10^x = a

LOG(b) = y

10^y = b

(10^y)^z = 10^x wegen b^z = a

10^{yz} = 10^x

yz = x

z = x/y

Nun Definitionen rückwärts.

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Hm. Vielleicht leite ich lieber dann das Logarithmengesetz her :)

a^x = a^x

z = 10^LOG(z) <-- das darf ich ja verwenden

(10^{LOG a})^x = 10^LOG(a^x)

(a^b)^c = a^{c*b} <-- Potenzgesetz

(10^{x * LOG a} = 10^{LOG a^x}

x * LOG a = LOG(a^x)

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Scheint mir vernünftiger. Das ist ja ein ganz nützliches Gesetz.

Du hast oben einfach noch Caret-Konflikte.