Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4.Grades, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

Question

Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Im Ursprung hat er eine waagerechte Tangente, an der Stelle 1 einen Tiefpunkt, der auf der Geraden mit der Gleichung y = -x liegt.

Berechnen Sie die Wendepunkte der bestimmten Funktion.

Comments

welche Bedingungen kannst Du mathemaisch formulieren?

Answer 1

Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Im Ursprung hat er eine waagerechte Tangente, an der Stelle 1 einen Tiefpunkt, der auf der Geraden mit der Gleichung y = -x liegt.

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(0) = 0
f'(1) = 0
f(1) = -1

c = 0
4·a + 2·b = 0
a + b + c = -1

Lösung: a = 1 ∧ b = -2 ∧ c = 0

f(x) = x^4 - 2x^2

Skizze

Comments

@mathecoach
Meinen Glückwunsch zu der knackig kurzen Lösung.
( Vergleiche meine eigenen Bemühungen )
mfg Georg

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f(x) = x⁴ - 2x² 

Wendepunkte f''(x) = 0

12·x^2 - 4 = 0
x = ± √(1/3)

f(± √(1/3)) = - 5/9

Wendepunkte (± √(1/3) | - 5/9)

Answer 2

Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Im Ursprung hat er eine waagerechte Tangente,
an der Stelle 1 einen Tiefpunkt,
der auf der Geraden mit der Gleichung y = -x liegt.

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
Ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Damit entfallen alle x-Ausdrücke mit ungeradem Exponenten

f ( x ) = a * x^4 + c * x^2 + e
Im Ursprung hat er eine waagerechte Tangente,
f ( 0 ) = a * 0^4 + + c * 0^2 + e = 0 => e = 0

f ( x ) = a * x^4 + c * x^2
Im Ursprung hat er eine waagerechte Tangente,
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 2 * c * x
f ´ ( 0 ) = 4 * a * 0^3 + 2 * c * 0 = 0
kein weiterer Erkenntnisgewinn

an der Stelle 1 einen Tiefpunkt,
f ´( 1 ) = 4 * a * 1^3 + 2 * c * 1 = 0
4 * a  +  2 * c  = 0
an der Stelle 1 einen Tiefpunkt,
2.Ableitung muß positiv sein
f ´´ ( x )  = 12 * a * x^2 + 2 * c
f ´´( 1 ) = 12 * a *1^2 + 2 * c > 0
12 * a  +  2 * c > 0

der auf der Geraden mit der Gleichung y = -x liegt.
Der Tiefpunkt liegt bei y = -1 
( 1  | - 1 )
f ( 1 ) =  a * 1^4 + c * 1^2 = -1
a + c = -1

Wir haben jetzt
4 * a  +  2 * c  = 0
a + c = -1
a = -1 - c
4 * ( -1 - c ) + 2 * c = 0
-4 - 4 * c + 2 * c = 0
-4 - 2 * c = 0
2c = -4
c = -2
a = -1 - c = -1 - (-2)
a = 1

Ich hoffe es stimmt so.
Ansonsten habe ich dir hoffentlich ein paar Anregungen gegeben.
mfg Georg

Answer 3

Hier mal ein alternativer Ansatz, der von der ersten Ableitung ausgeht und ein wenig Integralrechnung voraussetzt. Wegen der Symmetrie sind drei von höchstens drei Extremstellen von f, und damit Nullstellen von f', bekannt, so dass f' als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden kann:

f'(x) = a*(x-1)*x*(x+1) = a*(x^3-x)   für a ≠ 0.

Dazu lässt sich die Stammfunktion angeben:

f(x) = a*(1/4*x^4-1/2*x^2+C).

Mit f(0) = 0 folgt C = 0 und mit f(1) = -1 ist weiter a = 4, so dass

f(x) = 4*(1/4*x^4-1/2*x^2+0)

f(x) = x^4-2*x^2.