Wie kann man mit einer Taylorreihe den Grenzwert berechnen??

Question

$$ \lim_{x\to0}\frac { 1-cos2x }{ xsinx } $$

wie geht das??

Answer 1

Mach doch mal die Taylorreihe vom Zahler und Nenner. Wichtig. Für x um 0 sind die hohenExponenten eigentlich uninteressant.

1 - cos(2x) == 2·x^2 - 2/3·x^4 + 4/45·x^6 + ...

x*sin(x) == x^2 - 1/6·x^4 + 1/120·x^6 + ...

Wir können im Zähler und Nenner ein x^2 kürzen. Dann geht der Zähler gegen 2 und der Nenner gegen 1 und der Grenzwert ist damit 2.

Comments

Super Antwort Mathecoach Dankeee

Ich liege schon im bett und wünschendir eine gute nacjt :)

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Ich habe hier bewusst ein paar Glieder der Taylorentwicklung aufgeschrieben obwohl es aus oben genannten Gründen langt nur die höchste Potenz zu berechnen.

Weiterhin sollte man in der lage sein obige Taylorpolinome ohne!!! Berechnung so hinschreiben zu können.

Answer 2

$$1- \cos(2x)=2 \sin^2(x)$$

machts einfacher

Comments

und jetzt??

aber ich will es mal mit der taylorreihe mahen also sehen wie de rechenweg aussieht

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Das schliesst ja nicht aus, das erstmal zu vereinfachen, um sich Arbeit zu sparen, oder?

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Hast recjt und wie gdmehtd nun weiter?

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$$\frac{2 \sin^2(x)}{x \cdot \sin(x)}$$

$$2 \cdot \frac{ \sin(x)}{x }$$

schliesst doch Taylor nicht aus ?