Integralrechnung hinter dx noch +?

Question

 ∫ ³_-1 2x² dx+2  ∫ ⁰_-1 3x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx +6  ∫ ³₂ x² dx

Wie betrachte ich die zahlen hinter dem dx? Welch Formel muss ich da anwenden?

Comments

Annahme ∑ soll ein ∫ sein.

dx schliesst einen Integranden ab.

D.h. nach dem dx kommt ein neues Integral, das du erst berechnen und dann addieren sollst.

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Wenn Du damit die 2 und die 6 meinst: Das sind Faktoren vor dem, was dahinter steht...

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Und wie mache ich das?

Können Sie mir mal beim Beispiel helfen?

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Was mache ich mit denen?

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Die Faktoren rechnest du mal das Integral vor dem sie stehen, nachdem du das Integral berechnet hast.

Ist das eine einzige Aufgabe? Alles in einer Zeile?

EDIT: Habe oben Integralzeichen eingesetzt.

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Das ist eine Übung zu den Rechenregeln für Integrale. Hier kann man beispielsweise die Integrale zusammenfassen zu einem Integral, dass man dann berechnen kann.

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Das hilft mir wirklich nicht weiter :(

Könnten SIe mir vielleicht einen Schritt weiter helfen?

Ja, das ist eine Aufgabe in einer Zeile

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Zitat: Die Faktoren rechnest du mal das Integral vor dem sie stehen, nachdem du das Integral berechnet hast.

Das ist hier wohl eher nicht der Sinn der Aufgabe!

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hh919: Ja genau. Die Summanden 2, 3 und vier kann man noch zusammenfassen.

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 ∫ ³_-1 2x² dx + 2  ∫ ⁰_-1 3x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx  + 6  ∫ ³₂ x² dx =

 ∫ ³_-1 2x² dx + ∫ ⁰_-1 6x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx + ∫ ³₂ 6x² dx = ...

Die Faktoren vor dem zweiten und dem vierten Integral habe ich in den Integranden gezogen. Jetzt stehen hinten drei Integrale mit gleichem Integranden und Integrationsintervallen, die sich zusammenfassen lassen zu einem Intervall...

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 ∫ ³_-1 2x² dx+2  ∫ ⁰_-1 3x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx +6  ∫ ³₂ x² dx

feste Faktoren gehören VOR das Integral, um die zu integrierende Funktion zu vereinfachen!

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Wenn in diesem Beispiel die Faktoren aus dem Integral herausgezogen werden bzw. draußen bleiben, hat dies aber den Nachteil, dass die Intervalladditivität bei den letzten drei Summanden erst nach vorherigem Ausklammern ausgenutzt werden kann. Schieben wir die Faktoren vor dem zweiten und dem letzten Integral jedoch in das Integral hinein, können wir sofort zusammenfassen. Danach können wir die Faktoren immer noch herausziehen und haben etwas weniger Gesamtaufwand.

Answer 1

 ∫ ³_-1 2x² dx+2  ∫ ⁰_-1 3x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx +6  ∫ ³₂ x² dx

=  ∫ ³_-1 2x² dx+  ∫ ⁰_-1 6x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx +  ∫ ³₂ 6x² dx  |gleicher Integrand

=  ∫ ³_-1 2x² dx +  ∫ ³_-1 6x² dx          |gleiches Intervall

=   ∫ ³_-1 (2x² + 6x²) dx 

Nun kommst du selbst weiter.

=   ∫ ³_-1 8x²  dx 

....= 224/3

Comments

Vielen dank, nur was haben Sie beim letzten Schritt gemacht? Wie kommen Sie auf

=  ∫ ³_-1 2x² dx +  ∫ ³_-1 6x² dx  ?

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Statt von -1 bis 0 und dann von 0 bis 2 und dann von 2 bis 3 kann man direkt von -1 bis 3 integrieren.

Wichtig ist, dass die Intervalle aneinander anschliessen und der Integrand gleich ist.

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Wieso muss Mathe so kompliziert sein? :((

Können Sie mir das genauer erklären?

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Wenn die Lösung 224/3 ist bin ich auch Glücklich.

Sorry wenn ich Ihnen bisschen auf die Nerven ging (:

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Kein Problem. 224/3 stimmt.

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es gilt:

∫ (a bis b) f(x) dx + ∫ (b bis c) f(x) dx = ∫ (a bis c) f(x) dx

Zeichne dir das vielleicht mal in einem Koordinatensystem auf. für f(x) kannst du irgend eine Funktion hinzeichnen.

Answer 2

Hi, sollen die Summenzeichen Integrale sein?

Comments

Ja, soll es. Ich habe das Integral Zeichen nicht gefunden ^^

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Dann schreib ich Dir den ersten Term mal auf, den Rest kannst Du dann selber machen.

$$ \int_{-1}^{3}2x^2dx=2\int_{-1}^{3}x^2dx=2\cdot \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^3=\frac{2}{3}[27-(-1)^3]=\frac{56}{3} $$

Answer 3

 ∫ ³_-1 2x² dx+2  ∫ ⁰_-1 3x² dx +  ∫ ²₀ 6x² dx +6  ∫ ³₂ x² dx
heißt

(  ∫ ³_-1 2x² dx )  +  ( 2 * ∫ ⁰_-1 3x² dx )  + (  ∫ ²₀ 6x² dx ) + ( 6 *  ∫ ³₂ x² dx )
Dies kann auch Umformung  oder Trick 17 berechnet werden.
Stammfunktionen bilden

[ 2 * x^3 / 3 ]_-1³  + 2 * [ 3 * x^3 / 3 ]_-1⁰ + [ 6 * x^3 / 3 ]₀²  + 6 * [ x^3 / 3 ]₂³
[ 2 * x^3 / 3 ]_-1³  + 2 * [ x^3  ]_-1⁰ + [ 2 * x^3  ]₀²  + 6 * [ x^3 / 3 ]₂³
Jetzt ganz normal einsetzen und ausrechnen.

[ 2 * 3^3 / 3 - (  2 * (-1)^3 / 3 ) ]  + 2 * [ 0^3 - (-1)^3  ] + [ 2 * 2^3 - ( 2 * 0^3 ) ]  + 6 * [ 3^3 / 3 - 2^3 / 3 ]

Alles nach Schema F

Answer 4

∫ ³_-1 2x² dx + 2 ∫ ⁰_-1 3x² dx + ∫ ²₀ 6x² dx + 6 ∫ ³₂ x² dx

2 ∫ ³_-1 x² dx + 6 ∫ ⁰_-1 x² dx + 6 ∫ ²₀ x² dx + 6 ∫ ³₂ x² dx

2 ∫ ³_-1 x² dx + 6 ∫ ³_-1 x² dx

8 ∫ ³_-1 x² dx

8 [1/3 x^3]³_-1 = 224/3