Kurvenschar / e-Funktion ableiten: fa(x)=10x*e^{-1/2 ax}

Question

Es ist die Kurvenschar  fa(x)=10x*e^{-1/2 ax} gegeben. Bilden sie die ersten 3 Ableitungen und berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen.

Comments

Kann man annehmen, dass im Exponenten nur 2 unter dem Bruchstrich steht? Ich habe zur Verdeutlichung einen Leerschlag ergänzt.

Answer 1

fa(x)=10x*e^{-1/2 ax}

Schnittpunkte mit den Achsen.

x-Achse:

fa(x) = 0. Einer der Faktoren muss 0 sein. x1=0. x2 existiert nicht, da e^z nie 0 ist.

fa(0) = 0 P(0|0) ist gerade auch der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Ableitungen. Mehrfach Produktregel anwenden.

fa(x)=10x*e^{-1/2 ax}

fa'(x)=10*e^{-1/2 ax}+ 10x*(-1/2 a) e^{-1/2 ax}

fa'(x)=10*e^{-1/2 ax} - 5a x* e^{-1/2 ax}

fa''(x)= -5a*e^{-1/2 ax} - (5a* e^{-1/2 ax} + 5a x* (-1/2 a) e^{-1/2 ax})

fa''(x)= -5a*e^{-1/2 ax} - (5a* e^{-1/2 ax} - 2.5a^2 x* e^{-1/2 ax})

 

fa''(x)= -10a*e^{-1/2 ax}  + 2.5a^2 x* e^{-1/2 ax}

fa'''(x)= 5a^2 *e^{-1/2 ax}  + 2.5a^2 * e^{-1/2 ax} - 1.25a^3 x* e^{-1/2 ax}

fa'''(x)= 7.5a^2 *e^{-1/2 ax}  - 1.25a^3 x* e^{-1/2 ax}

Answer 2

Wenn wir mal annehmen, das die Funktion wie folgt geschrieben werden kann

f(x) = 10·x·e^{- a/2·x}

Dann würde man hier die Produktregel und Kettenregel anwenden:

u(x) = 10·x
u'(x) = 10

v(x) = e^{- a/2·x}
v'(x) = -a/2·e^{- a·x/2}

f '(x) = 10·e^{- a/2·x} + 10·x·(-a/2·e^{- a·x/2}) = e^{- a·x/2}·(10 - 5·a·x)

Genau so machen wir jetzt auch noch weitere Ableitungen

f ''(x) = e^{- a·x/2}·(2.5·a^2·x - 10·a)

f '''(x) = e^{- a·x/2}·(7.5·a^2 - 1.25·a^3·x)

Comments

Hier habe ich die Funktion für ein paar Werte von a im Bereich von 1 bis 10 gezeichnet.