Beweis der Kettenregel mit dem Differentialquotienten. Ist es soweit richtig?

Question

Hi,

f'(x)= u'(v(x))*v'(x)

Differentialquotient:

f'(x)= lim_h->0 f(x+h)-f(x)/h

Nun:

f'(x)=lim_h->0 (x+h)-u'(x))*v'(x)/h

???

komme nicht mehr weiter

Answer 1

Hier habe ich mal eine Herleitung gemacht.

Comments

Funktioniert nicht wenn v(x+h)-v(x) = 0 für ein h ist

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Wenn

v(x+h) - v(x) = 0 dann v(x + h) = v(x) dann u(v(x + h)) = u(v(x))

Dann ist bereits der Grenzwert der 2. Zeile 0. Das ändert nichts am Ergebnis.

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Du musst aber garantieren koennen, dass Du für _alle_ kleinen h nie mit Null erweiterst. In der Literatur findet man Deine Herleitung so nur für v'(x)<>0. Der Fall v'(x)=0 wird gesondert betrachtet.

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Ja. Es wäre sauberer gewesen wenn ich auch eine Fallunterscheidung gemacht hätte. Wie gesagt könnte man hier die Fallunterscheidung an der zweiten Zeile ansetzen.

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Nein, kann man nicht. Du musst da, wo Du erweiterst, also ab Zeile 4 garantieren koennen, dass Du nicht mit Null erweiterst für _alle_ kleinen h. Dein Argument  "Wenn v(x+h) - v(x) = 0 dann v(x + h) = v(x) dann u(v(x + h)) = u(v(x)" zieht nur dann für _alle_kleinen h, wenn v lokal konstant ist. Auch bei anderen Funktionen kann v(x+h) - v(x) = 0 für unendlich viele h mit |h|<eps gelten! Dann gilt Deine erweiterte Gleichung zu selten, um einen Grenzuebergang damit ausfuehren zu koennen.

Answer 2

Hallo Emre,

es wäre nützlich, wenn du:

1.) zuallererst die gestellte Aufgabe klar formulieren

2.) den hier verfügbaren tollen Formeleditor nutzen

würdest.

Es geht ja vermutlich darum, die Ableitung f'(x)  einer Funktion f der Form

$$ f(x)\ =\ u(v(x)) $$

durch die Ableitungen der darin vorkommenden Teilfunktionen u und v darzustellen. Wichtig ist dabei auch, sich die für u und v gestellten Voraussetzungen klar zu machen !  Wie lauten diese ?? Um zu einer Herleitung zu kommen, musst du zuerst in dem Definitionsterm

$$ f'(x)\ =\ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

die Funktion f durch ihre Definition mittels u und v darstellen. In einem weiteren Schritt muss man dann durch eine geeignete Umformung (Erweitern) den Bruch in ein Produkt von Brüchen  verwandeln, von welchen man dann separat die Limites bestimmen kann (unter den gestellten Voraussetzungen an u und v !). Um zu merken, wie diese Umformung im Detail aussehen könnte, kann man sich am Ergebnis orientieren, das dir ja ziemlich sicher schon bekannt ist.