gesucht wird der Inhalt der Fläche A

Question

GEsucht ist der Inhalt der Fläche A die vom GRaphen von f(x) = ln (4-x) und den beiden Koordinatenachsen im 1.Quadranten umschlossen wird.Fertigen sie zunächst eine SKizze an und zeigensie, das F(x) =(4-x)(1-ln(4-x)) eine Stammfunktion von f ist.


Ich muss diese Aufgabe lösen,bloß habe ich wirklich keine Ahnung was ich machen muss..ich bin eine MAthe Niete und meine Klassenkameradin,die mir normalerweise immer hilft ist momentan krank.. ich werde noch verrückt bitte helft mir -.-

Answer 1

Hier ist eine Skizze auf die schnelle

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F(x) = (4 - x)·(1 - LN(4 - x))

Leite diese Funktion ab und zeige damit, dass es eine Stammfunktion ist.

F(3) - F(0) = ((4 - 3)·(1 - LN(4 - 3))) - ((4 - 0)·(1 - LN(4 - 0))) = 8·LN(2) - 3 = 2.545177444

Answer 2

Erster Schritt:
Fertigen Sie zunächst eine Skizze an: f(x) = ln(4-x)
(Den Plot musst Du ein wenig anders skalieren, damit Du weißt, wie die Einschlussfläche liegt.)

Answer 3

Hi,

die Skizze habe ich beigefügt. Das F(x) eine Stammfunktion von f(x) beweist Du, indem Du \( F'(x) \) ausrechnest und zeigst, dass \( F'(x)=f(x) \) gilt.

Für die Flächenberechnung muss Du die Integrationsgrenzen berechnen. Einmal ist es \( x=0 \) da die y-Achse ja die Grenze sein soll. Die zweite Grenze bekommst Du aus der Nullstelle der Funktion f(x), den die x-Achse soll ja auch eine Begrenzung sein.

Der Logarithmus wird 0 wenn das Argument 1 ist, also ist die Nullstelle bei \( x=3 \)

Der Wert des Integrals ergibt sich aus der Eigenschaft der Stammfunktion

\( \int_0^3f(x)dx=F(3)-F(0)=1-\left[4-4 \cdot ln(4)\right]=4 \cdot ln(4)-3 \)

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vielen vielen Dank es hat mir echt weitergeholfen !!!