Kleinstmöglichen Wert von b+c bestimmen

Question

Es soll der kleinstmögliche Wert von b + c für alle derartigen Tripel (a,b,c) bestimmt werden.

a,b,c sind ganze Zahlen

und

a ist größer 0

a ist kleiner b³

a + b³ = c³

Comments

Wie sieht es denn mit 61 + 64 (4³⁾⁾  = 125 (5³) aus?

dann müsste der kleinstmögliche Wert von b + c = 189 sein

---

Nein, das war ein Denkfehler

b + c = 4 + 5 = 9

dann müsste der kleinstmögliche Wert von b + c = 9 sein.

Was sagt Ihr dazu?

Answer 1

Ich habe auch keine kleinere Lösung gefunden als

61 + 4^2 = 5^2

Ich denke das kann man auch begründen.

b muss ja eine ganze Zahl sein. damit muss c größer sein als b. allerdings möglichst nicht viel größer weil a die differenz aus c^3 - b^3 ist. also c = b + 1

Nun gibt

a + b^3 = (b+1)^3
a = (b+1)^3 - b^3 < b^3
b > 3.847322102
Damit muss b = 4 sein.

Comments

Ich habe 2 Fragen zum Verständnis

- warum muss c = b + 1 sein (muss es nicht c = b + a heißen?)

- wie kommt man auf die Zahl 3.847322102 ?

---

a + b³ = c³

b muss ja eine ganze Zahl sein. damit muss c größer sein als b.

Verstehst du warum dass so ist??

allerdings möglichst nicht viel größer weil a die differenz aus c³ - b³ ist.

Verstehst du warum das so ist ??

Verstehst du warum ich sage das c also nur 1 größer ist als b ??

---

Aus
\( 0 \lt a=c^3-b^3 \lt b^3 \) folgt \( b^3 \lt c^3 \lt 2 \cdot b^3 \)

Die kleinste natürliche Zahl \( c \) die größer als \( b \) ist, ist \( c=b+1 \)

Das oben eingesetzt ergibt

\( b^3 \lt b^3+3b^2+3b+1 \lt 2 b^3 \)

Lösung von \(  b^3+3b^2+3b+1 - 2 b^3=0 \) ergibt den Wert b=3.847

Deswegen muss b=4 gelten.

---

Ich habe jetzt verstanden, dass c = b + 1 lauten muss

bis a + b³ = (b + 1)³

a = (b + 1)³ - b³

          kann ich folgen

aber einen Wert von 3,847 kann ich daraus nicht ermitteln

(bin in der 9. Klasse und stehe eigentlich 1 in Mathe)

---

Hi,

umm auf die 3.847 zu kommen, muss man eine Gleichung dritten Grades lösen, was definitiv nicht Stoff der 9'-ten Klasse ist. Ich habe das mit einem Matheprogramm gemacht. Wenn Du einen Taschenrechner hast, mit dem man so was lösen kann, probier es doch damit.

Ansonsten ist die Probiermethode wohl die richtige. Du kannst ja die Ungleichung \( b^3  \lt c^3 \lt 2b^3 \) und durch probieren nachvollziehen, dass die ersten natürlichen Zahlen, die diese Ungleichung erfüllen die Zahlen b=4 und c=5 sind.

---

Ja man muss hier die Gleichung

(b+1)³ - b³ < b³ 

lösen. Das war aber normal gar nicht in der Aufgabe gefragt. Mit meiner Rechnung wollte ich nur klarmachen das es wohl kein kleineres b als 4 geben kann.

Mein Casio Taschenrechner löst übrigens noch Gleichungen dritten Grades. Also das bekommt man eventuell noch hin.